連 続な関数

質問

xについて連続な関数
y=f(x)
について、
∆x→0のとき　∆y→0
がわかりません。
宜しく御願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

解るも、輪からないも、それが「連続」の定義(言葉の意味)です。
f(x+Δx) = f(x) + Δy で Δy を定義すると、
「f(x) は連続」と「∆x→0 のとき ∆y→0」が同値(真偽が一致する)。
そうやって、「連続」の意味を定めます。

お礼

回答有り難うございます。
理解できました。

回答No.2

ereserve67

連続な関数の例として

f(x)=x^2

としてy=f(x)を考えます．

xを少しずらしてx+⊿xにします．このときyはy+⊿yにずれるとします．つまり

y+⊿y=f(x+⊿x)

⊿y=f(x+⊿x)-f(x)（y=f(x))

=(x+⊿x)^2-x^2

=x^2+2x⊿x+(⊿x)^2-x^2

⊿y=2x⊿x+(⊿x)^2

ここでx=1として，⊿xを小さくします．例えば

⊿x=0.1→⊿y=0.2+0.01=0.21
⊿x=0.01→⊿y=0.02+0.0001=0.0201
・・・

という具合に

⊿xが0に近づくと⊿ｙもそれに応じて0に近づく

ことが分かります．これを

⊿x→0のとき⊿y→0

と書くわけです．この場合y=x^2はx=1において連続であると言います．x=1でなくともどんなxの値を考えてもこの事は成り立ちます．つまりy=x^2という関数はどこでも連続です．

一般に，y=f(x)のグラフがつながっているなら連続関数です．（図の赤い放物線）

※連続が分かりにくいなら不連続な関数とはどんなものかを考えてみるとよいと思います．これも例えば

f(x)=0(x<0)

f(x)=1/2(x=0)

f(x)=1(x>0)

という関数を考えましょう．そのグラフはx=0以外の部分はx軸に平行な直線でつながっていますが，x=0の前後であきらかにf(x)=0からf(x)=1/2を経てf(x)=1にジャンプします（図の青いグラフ）．この場合

⊿y=f(0+⊿x)-f(0)=1/2(⊿x>0)

⊿y=f(0+⊿x)-f(0)=-1/2(⊿x<0)

であって⊿xをどんなに0に近づけても⊿yは0に近づきません．このような関数はx=0で不連続と言います．

お礼

回答有り難うございます。
具体例があって分かりやすかったです。