• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:9次正方行列Aについて)

9次正方行列Aの固有値に対する階数の条件とは?

このQ&Aのポイント
  • 9次正方行列Aの固有値に対する階数の条件とその必要十分条件を求めます。
  • 行列Aの固有値が1(単根)と0(8重根)の場合の階数の条件と必要十分条件を示します。
  • ジョルダン標準形に対して、固有値0に対する階数の条件と必要十分条件を逆算します。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

n 次正方行列 A のジョルダン標準形を J、その変換行列を P、 n 次単位行列を E と置きす。 J = (P^-1)AP より、任意のスカラー s、自然数 m に対して (A-sE)^m = P (J-sE)^m (P^-1) が成り立ちます。 s が A の固有値のひとつである場合に、J-sE がどんな行列か、 成分を考えてみてください。J が具体的にどんなジョルダン胞で 構成されているかが判っていれば、これにより、 (J-λE)^m の列のうち、零ベクトルになるものが、どこに何個 あるかが見えてくるハズです。 それにより、A の固有値 λ に対する高さ m の一般固有空間の 次元 dim Ker (A-λE)^m = dim Ker (J-λE)^m が求められます。 rank (A-λE)^m = n - dim Ker (A-λE)^m も、計算できますね。 結論を言えば、固有値 λ に対する各ジョルダン胞の、胞内で 第1行~第m行目にある行数の総和が、dim Ker (J-λE)^m であり、 それに対応する P の列が、その一般固有空間の基底を成します。 「総和」は、けして、m×ジョルダン胞の個数 ではありません。 m 次より小さいジョルダン胞には、「m行目」は無いからです。 例えば… J ~ J(1,1) (+) J(0,3) (+) J(0,2) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) であれば、 rank(A-0E) = 9-(1+1+1+1+1) = 4, rank(A-0E)^2 = 9-(2+2+1+1+1) = 2, rank(A-0E)^3 = 9-(3+2+1+1+1) = 1. J ~ J(1,1) (+) J(0,3) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) であれば、 rank(A-0E) = 9-(1+1+1+1+1+1) = 3, rank(A-0E)^2 = 9-(2+1+1+1+1+1) = 2, rank(A-0E)^3 = 9-(3+1+1+1+1+1) = 1. …です。 J(0,m) の m の合計は、8 でないとマズイでしょうね。

eieitaro
質問者

お礼

(14)と(15) にJ(0,1)が一個足りませんでした。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (2)

  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.2

deg(J(1,1)⊕J(0,3)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1)⊕J(0,1))=8≠9となっています

eieitaro
質問者

お礼

(14)と(15) にJ(0,1)が一個足りませんでしたね。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • reiman
  • ベストアンサー率62% (102/163)
回答No.1

(14)と(15)は間違っています.

eieitaro
質問者

補足

正解とその理由教えて下さい。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 3×3行列ジョルダン標準正規

    ジョルダン細胞の数と次数の考え方。 間違っていたら指摘して下さい。 3×3行列について (1)固有値が3つ異なる場合 α≠β≠γ それぞれの固有空間の階数(rank)は、2なので、それぞれの固有空間の次 元は1次元。 従って、ジョルダン細胞の次元は1次。1つの固有値に対するジョルダン細胞の数も1個。 J=J(α,1)+J(β,1)+J(γ,1) (2) 固有値が3重根の場合 (1)固有空間のrankが2の場合 固有空間の次元は、3-2=1次元。 固有ベクトルは、1つだけ。 よってジョルダン細胞は1個。 行列が3次なので、3次のジョルダン細胞が1個。 J=J(α,3) ここで、(A-αE)^2≠0、(A-αE)^3=0になるが、この計算は不要。 (2)固有空間のrankが1の場合 固有空間の次元は、3-1=2次元。 2次元上で独立な固有ベクトルは、2つ以上取れる。 ジョルダン細胞の数は2個。 3次元行列であるから、2個のジョルダン細胞は、2次1個と1次1個になる。 よって、J=J(α,1)+J(α,2) (3)固有値が2個が重根、1個単根の場合。 固有値=α(重根)、βとする。 (1)αに対する固有空間のrankが2の場合 固有空間の次元は、3-2=1次元。 ジョルダン細胞の数は1個。 1次元だからαの固有ベクトルは1個だけ。 βは単根だから、固有空間の次元は1次元で固有ベクトルは1個だけでジョルダン細胞の次元も1次。3次元行列だから、αに対するジョルダン細胞の次数は、3-1=2次元でなければいけない。 よって、J=J(α,2)+J(β,1) (2)αに対する固有空間のrankが1の場合 固有空間の次元は3-1=2次元。 2次元なので、固有ベクトルは2つ以上取れる。 ジョルダン細胞は2個でそれぞれ1次。 βに対するジョルダン細胞は上記と同じ。 よって、J=J(α,1)+J(α,1)+J(β,1)

  • 4×4の行列のジョルダン標準形

    A=4×4の行列のジョルダン標準形の求め方について次の考え方でいいですか? (1)固有値が4重根の場合、固有値をλ。 (1)rank(A-λE)=1の時、 固有空間の次元は、4- 1=3 したがってジョルダン細胞は3個。 4×4行列だから、2次+1次+1次。 よって、J=J(λ,2)+J(λ,1)+J(λ,1) (2) rank=2の時、 ジョルダン細胞数は、4-2=2個。 2次+2次、または3次+1次。 そこで、 (A-λE)≠0と(A-λE)^2=0だったら、最高次数は2だから、J=J(λ,2)+J(λ,2) (A-λE)^3=0だったら、J=J(λ,3)+J(λ,1) または、rank(A-λE)^2=1だったら、 J=J(λ,3)+J(λ,1) (3)rank=3の時、 ジョルダン細胞数は、4-3=1個 よって、J=J(λ,4) (2)3重根λ1、単根λ2の場合 (1)λ1に対してrank=1の時、 ジョルダン細胞数は、4-1=3個 λ2は単根だから1次、λ1は残り3次に対して3個のジョルダン細胞数だからすべて1次。 よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1) (2) λ1に対してrank=2の時、 ジョルダン細胞数は、4-2=2個 残り3次に対して2個だから、λ1のジョルダン細胞次数は、2次+1次。 よって、J=J(λ1,2)+J(λ1,1)+J(λ2,1) (3)λ1に対してrank=3の時 ジョルダン細胞数は、4-3=1個 よって、J=J(λ1,3)+J(λ2,1) (3) λ1(2重根)、λ2(2重根)の場合 rank=1は、固有空間が3次元になるのであり得ない!!固有ベクトルが2個だから、固有空間の次元もそれ以下に必ずなる。 (1) λ1に対してrank=2、λ2に対してrank=2の時 それぞれジョルダン細胞数は、4-2で2個ずつだから、全部1次。 よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ2,1) (2) λ1に対してrank=3、λ2に対してrank=2の時、 λ1のジョルダン細胞数は、4-3=1個 λ2のジョルダン細胞数は、4-2=2個 よって、2次+1次+1次 J=J(λ1,2)+J(λ2,1)+J(λ2,1) (3) λ1とλ2に対して両方rank=3の時、 ジョルダン細胞数は、それぞれ1個ずつ。 2次+2次。 よって、J=J(λ1,2)+J(λ2,2) (4) λ1(2重根)、λ2(単根)、λ3(単根)の場合 (1) λ1に対してrank=2の時、 ジョルダン細胞数は、4-2=2 よって、1次が2つ。 よって、J=J(λ1,1)+J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ3,1) (2) λ1に対して、rank=3の時、 ジョルダン細胞数は、4-3=1個。 2次が1個。 よって、J=J(λ1,2)+J(λ2,1)+J(λ3,1) (5) 4つの固有値がすべて異なる場合。(λ1、λ2、λ3、λ4) すべて1次のジョルダン細胞 J=J(λ1,1)+J(λ2,1)+J(λ3,1)+J(λ4,1) rankは計算する必要なし。 たとえ求めても、ジョルダン細胞数はそれぞれの固有値に対して4-3=1個だから、必ず3になる。

  • 5x5行列対角化

    5次正方行列 A= 1 | -1 | 1 | 1 | -1 1 | 3 | -2 | -2 | 2 -1 | -1 | 0 | 0 | 1 -1 | -1 | -2 | 2 | 1 -2 | -2 | -4 | 0 | 4 固有値=2(五重根) ジョルダン標準形に変換する行列Pを求めて下さい。 J=P^(-1)AP にするPです。

  • 8×8行列ジョルダン標準形の問題

    A= [0 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -3 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -3 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 -1 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 0 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -2 6 -1] [3 1 1 0 3 4 0 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 1] のジョルダンの標準形を求め ジョルダンの標準形に相似変換する行列をを求めよ 次の解答でいいですか? 書き方も含めて、間違いを指摘して下さい。 【解答】 固有多項式 det(A-λE)= =λ^8+8λ^7+28λ^6+56λ^5+70λ^4+56λ^3+28λ^2+8λ+1 =(λ+1)^8 (二項定理の係数になってたので因数分解できました) 固有値:λ=-1(8重根) 固有値-1に対して、B=A+Eと書く。 最初にrank(B)を求める。 B= [1 -1 1 0 -1 1 -1 1] [1 -2 3 0 -4 0 -2 0] [-2 1 -2 0 1 -2 1 -2] [-1 4 -4 0 7 0 4 0] [-3 1 -3 0 1 -3 1 -3] [-2 6 -5 0 9 -1 6 -1] [3 1 1 0 3 4 1 4] [3 -6 6 0 -9 2 -6 2] ⇩(ガウスの消去法) [1 0 0 0 1 0 0 0] [0 1 0 0 1 0 1 0] [0 0 1 0 -1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B)=4 ジョルダン細胞数の数は固有空間の次元に等しいので、 dim(Ker(B))=8-rank(B)=4個 次にジョルダン細胞の次数を求める。 (m+1)次以上のジョルダン細胞の数は、 rank(A-λE)^m-rank(A-λE)^(m+1) で与えられるから、 rank(B)-rank(B^2)の値が2以上のジョルダン細胞の数を与えるから、B^2を計算。 B^2= [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [-1 0 -1 0 0 -1 0 -1] [1 0 1 0 0 1 0 1] [2 0 2 0 0 2 0 2] [1 0 1 0 0 1 0 1] [4 0 4 0 0 4 0 4] [0 0 0 0 0 0 0 0] [-4 0 -4 0 0 -4 0 -4] ⇩ [1 0 1 0 0 1 0 1] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 0] よって、rank(B^2)=1 rank(B)-rank(B^2)=4-1=3 2次以上のジョルダン細胞数は3個。 8次の中にジョルダン細胞数が合計で4個、2次以上が3個なので、 ジョルダン細胞の直和は、1次+2次+2次+3次という形になる。 Aの相似形を「~」で書くと、ジョルダン標準形は、次数の低い方からの直和で(➕は、+の丸囲みです) A~J(-1,1)➕J(-1,2)➕J(-1,2)➕J(-1,3) J= -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 次に固有ベクトルを求める。 求める固有ベクトルを p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8]^t (^tは、転置行列)と書く。 p=(p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8) (列ベクトルの記述です) として、固有ベクトルを求める Bp=0 [1 0 0 0 1 0 0 0]p=0 [0 1 0 0 1 0 1 0]p=0 [0 0 1 0 -1 0 0 0]p=0 [0 0 0 0 0 1 0 1]p=0 p1+p5=0 p2+p5+p7=0 p3-p5=0 p6+p8=0 p4=任意 t,s,u,vを媒介変数として p=t(-1,0,1,0,1,0,-1,0)+s(0,-1,0,0,0,0,1,0)+u(0,0,0,1,0,0,0,0)+v(0,0,0,0,0,1,0,-1) 独立した固有ベクトルは、 (-1,0,1,0,1,0,-1,0) (0,-1,0,0,0,0,1,0) (0,0,0,1,0,0,0,0) (0,0,0,0,0,1,0,-1) の4つだが、 1次ジョルダン細胞に対するものを一番簡単な(0,0,0,1,0,0,0,0)にする。 それをx=[0 0 0 1 0 0 0 0]^t (転置)と書く。 By≠0、Bz≠0、Bu≠0、B^2u≠0の条件で y=[1 0 0 0 0 0 0 0]^t z=[0 1 0 0 0 0 0 0]^t u=[0 0 1 0 0 0 0 0]^t を設定すると、変換行列Pはジョル細胞の低い方をからの直和に合わせ P=[x By y Bz z B^2•u Bu u] P= 0 1 1 -1 0 -1 1 0 0 1 0 -2 1 -1 3 0 0 -2 0 1 0 1 -2 1 1 -1 0 4 0 2 4 0 0 -3 0 1 0 1 -3 0 0 -2 0 6 0 4 -5 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 3 0 -6 0 -4 6 0 P^(-1)= 0 0 0 1 34 28 16 37 0 0 0 0 4 4 2 5 1 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 0 -8 -9 -3 -11 0 1 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 9 12 3 14 0 0 0 0 -4 -3 -2 -4 0 0 1 0 -1 -1 0 -1 P^(-1)AP=J になる。

  • 行列の対角化について

    n次正方行列Aがある対角行列と相似の時、行列Aの各特性根αに対する固有空間の次元の和がnになることは分かるのですが、各特性根αの(特性方程式の)重複度と固有空間の次元が一致するのがなぜだか分かりません。どなたか教えてください。お願いします。

  • AはC上のn次正方行列のとき。

    『AはC上のn次正方行列.E_nはn次単位行列,b∈Cとするとき、 1:bはAの固有値である。 2:det(bE_n-A)=0 の二つが同値を示せ』 という問題で、 i)1→2のとき Aの固有ベクトルをxと置く、 Ax=bx E_nはn次単位行列だから AE_n=A AE_nx=Ax=bx Ax=bE_nx A=bE_n このとき次数も等しいから det(bE_n-A)=0. ii)行列(bE_n-A)の次数は0より bE_n-A=0 bE_n=A E_nはn次単位行列 Aはn次正方行列 だから bはAの固有値. この2つから題意は示せますか?

  • 3次正方行列が対角化不可能になる条件

    3次正方行列A A= (2 a 1)   (1 2 1)   (0 0 1) Aが対角化不可能であるとき、パラメーターaの満たすべき条件を求めよ。 という問題です。 aを残したまま|A-λE|=0を計算して特性方程式が重解を持つように 解いたらa=1,0でした。 aはa=1,0のいずれかと思いましたが、実際a=1,0のときにたしかに特性方程式 は重解をもつが、両方とも固有空間の次元が重複度に一致してしまいました。 すなわち、a=1でもa=0でもAは対角化可能ということになります。 この問題で非常に困っています。 ご指導いただければと思います!

  • 行列 X^2=A

    3×3行列 行列A 1 1 -1 1 3 -1 -1 -1 1 X^2=A を満たす3次正方行列を求める問題なんですが、 Aの固有値と固有ベクトルまでは求めて、対角化して解こうとしたんですが、 うまくできません。どなたかご教授ください。 よろしくお願いします。 固有値0,1,4 固有ベクトル  1  -1  -1 0   1  -2 1   1   1

  • 行列:rankの問題

    行列Xの階数をrank(X)で表す。A,Bをn次正方行列としたとき、 (1)不等式 rank(AB)≦rank(B) を示せ。また、等号成立はどういうときに成り立つか。 (2) AB=0のとき、 不等式 rank(A)+rank(B)≦n を示せ。 この問題をおしえてください。具体的な行列で考えると成り立っていることはわかるんですが、証明方法に悩んでいます。

  • 3次正方行列が対角化不可能になる条件

    3次正方行列A A= (2 a 1) (1 2 1) (0 0 1) Aが対角化不可能であるとき、パラメーターaの満たすべき条件を求めよ。 という問題です。 また、Aが対角化できない場合のaに対して、AのJordan標準形を求める問題もその続きに ありますけれども、 Jordan標準形っていうのはAを上三角化してできた行列のことですか? 対角化不可能な3次正方行列はどんな行列なのかわからなくて、問題が進められません。 上三角化ならなんとかできます。 では、ご指導よろしくお願いします!