線積分の性質

質問

線積分の性質について証明する問題がわかりません。任意のスカラー場φ,φ1,φ2に対して次の性質の証明がわかる方いらっしゃいましたら教えてください。
（導出過程もお願いします）

問：C=C1+C2のとき,∫[c]φds=∫[c1]φds+∫[c2]φds

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

スカラー場の線積分 ∫[C]φds の定義と
C=C1+C2 という式の意味が解っていれば、
ほぼ自明な証明だけど、どこが判りませんか？

有界な曲線 C とは、実区間 [a,b] から空間への
滑らかな一対一写像のこと。(曲線のパラメータ表示)

その写像を t→r(t) と置くと、
∫[C]φds = ∫[a,b] φ(r(t)) |r'(t)| dt である。
曲線のパラメータ表示は一通りではないが、
上式右辺の値がパラメータ表示の選び方によらない
ことは置換積分によって証明できる。
これが、∫[c]φds の定義。

一方、C=C1+C2 という式は、
C のパラメータ表示が t→r(t), t∈[a,b],
C1 のパラメータ表示が t→r1(t), t∈[a,m],
C2 のパラメータ表示が t→r2(t), t∈[m,b]
であるとき、
t∈[a,m] について r(t) = r1(t),
t∈[m,b] について r(t) = r2(t)
であることを表している。

だから、
∫[C]φds = ∫[a,b]φ(r(t))|r'(t)|dt
= ∫[a,m]φ(r(t))|r'(t)|dt + ∫[m,b]φ(r(t))|r'(t)|dt
= ∫[a,m]φ(r1(t))|r1'(t)|dt + ∫[m,b]φ(r2(t))|r2'(t)|dt
= ∫[C1]φds + ∫[C2]φds.
要するに、積分区間を分割している。

お礼

遅くなりました。丁寧な解答ありがとうございます。