0の0乗についての自然さ

質問

• 質問文章では、0の0乗を定義する際の自然さについて論じられています。x ≠ 0 のとき x^0 = 1 であることから、0の0乗を 1 と定めることが考えられますが、n が正の整数のとき 0^n = 0 であるため、0の0乗を 0 と定めることも自然であると考えられます。
• 質問者は、関数 f(n) = Σ[k=0,n]C(n,k)(-1)^k を例に取り、n が正の整数の場合は f(n) = 0 かつ f(0) = 1 が成り立つことを指摘しています。そのため、n = 0 のとき 0^n = 0 が自然であり、0^n = 1 は不自然であるという論理があるのではないかと疑問に思っています。
• このようにして、0の0乗については「全てに都合の良い定め方はない」との考え方があります。定義は自由ではありますが、その背後にある理由や根拠について議論がなされるべきであると質問者は考えています。具体的に、なぜ0を定めるのが「自然」なのか、その理由を説明してほしいとしています。

回答No.1

Luo47

難しい質問ですね（^^；）

たぶん基礎論に属する事柄だと思うので、今のところ定義する方法がない、と言ったほうが良いような気がします。将来は定義できるかも知れません。

次の簡単な式も、今のところ答えがありません。

Ｘａ＝＋１－１＋１－１＋１－・・・　　　→Ｘａ＝０あるいは＋１　？？
Ｘｂ＝－１＋１－１＋１－１＋・・・　　　→Ｘａ＝０あるいは－１　？？

例として、ルベーグ積分の外測度を用いて素朴に考えると、集合列Ａ1，Ａ2，・・・，Ａk,・・・と、Ｂ1，Ｂ2,・・・,Ｂk,・・・について、下極限lim↓ Ａk（うまく表示できないので、ヘンな記号使ってます（_ _；））、および、上極限lim↑ Ｂkがともに、空集合φに収束するとおくと、それぞれの外測度は、

外測度ｍ*（lim↓ Ａk＝φ）＝０　　ｍ*（lim↑ Ｂk＝φ）＝０

となり、乗法を集合の共通部分とみなせば、｛Ａk｝∩｛Ｂk｝は、極限移行して外測度は零集合を形成します。

・・・ここまで記述して合っているのか不安になってきました。ルベーグ積分の解説書には、零集合の様相は謎めいているというようなことが書いてありました。