運動方程式の動径方向と方位角方向の成分

質問

上の３式から下の３式へ導き方がわかりません。
途中式出来るだけ詳しく教えていただきたいです。
本当にわからなくて困っているので助けて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67

方針だけ示します．

ｒ，θ，Φ方向の基本ベクトルをe_r,e_θ,e_φとし，ｘｙ平面上における動径方向の基本ベクトルをe_ρとします．
また，x,y,z軸方向の基本ベクトルをi,j,kとします．すると次の関係があります．

e_r=e_ρsinθ+kcosθ
e_θ=e_ρcosθ-ksinθ

また，

e_ρ=e_rsinθ+e_θcosθ
k=e_rcosθ-e_θsinθ

さらに

e_ρ=icosφ+jsinφ
e_φ=-isinφ+jcosφ

から

e_ρ=φ'e_φ
e_φ=-φ'e_ρ

が成り立ちます．これらに注意すれば

(re_r)''=r''e_r+2r'e_r'+re_r''

をe_r,e_θ,e_φの一次結合で表すことができます．それらの係数が動径方向，θ方向，φ方向の角速度成分になります．

方針：e_r'=(e_ρcosθ+e_φsinθ)',(e_r)''=(e_r')'

頑張ってください．

回答No.1

yokkun831

この計算を実際にやろうとする人はほとんどいないでしょうね。
以下，時間微分を「'」で表します。

x = r sinθcosφ

Vx = x' = r' sinθcosφ + rθ' cosθcosφ - rφ' sinθsinφ

積の微分
(fg)' = f ' g + f g'
(fgh)' = f 'gh + fg'h + fgh'
…
を用いて次々と微分していけばよいのですね？

したがって，同様に

Ax = x'' = r'' sinθcosφ + r'θ' cosθcosφ - r'φ' sinθsinφ
+ r'θ'cosθcosφ + rθ''cosθcosφ - rθ'^2 sinθcosφ - rθ'φ'cosθsinφ
- r'φ'sinθsinφ - rφ'' sinθsinφ - rθ'φ'cosθsinφ - rφ'^2 sinθcosφ

という具合。y成分，z成分も同様に計算して，
Ar = Ax sinθcosφ + Ay sinθsinφ + Az cosθ
…
によって加速度の球座標成分を求めよ，というのです。
私はとてもやる気がしませんが，計算自体は複雑なだけで難しくはありませんので頑張ってください。実のところ，この計算にはもっとエレガントな方法が別にあるのです。