３次元の楕円体

質問

ｄ=x^2+y^2 -2axy が４５度傾いた楕円になるのは良いのですが、ｄ=x^2+y^2+z^2-2axy-2byz-2czx はどうなるのでしょうか？自分は４５度傾いた楕円体になると予想を付けています。厳密に証明して頂かなくても結構なので軽く証明の流れを教えていただきたいです。その証明が載っている参考書を教えていただくだけでも構いません。困っているので教えていただきたいです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>ｄ=x^2+y^2 -2axy が４５度傾いた楕円になるのは良いのですが
正しくありません。

aの値によっては
「長径が+45°に傾いた楕円」　...（例）a=-0.5,d=1の場合
にも
「長径が-45°に傾いた楕円」　... (例) a=0.5,d=1の場合
にも
「傾きが+45°の平行な2直線」　... (例) a=-1,d=1の場合,y=x±1
にも
「傾きが-45°の平行な2直線」　... (例) a=1,d=1の場合,y=-x±1
にも
「双曲線」...(例) a=-2,d=1の場合やa=2,d=1の場合
にもなります。

>ｄ=x^2+y^2+z^2-2axy-2byz-2czx はどうなるのでしょうか？自分は４５度傾いた楕円体になると予想を付けています。

これは間違いです。勿論、「４５度傾いた楕円体」は含んでいますが…。
>その証明が載っている参考書
予想が間違っていますので証明は不可能です。なので参考書も存在するはずがありません。

(例)a=0.5,b=0.4,c=0.3,d=1の場合　楕円球面
(反例1)a=-1,b=2,c=3,d=1の場合　一葉楕円双曲面
(反例2)a=-2,b=2,c=3,d=1の場合　二葉楕円双曲面
(反例3)a=2,b=2,c=-1,d=4の場合　二葉双曲柱面
(反例4)a=b=c=±1,d=0の場合 直交三平面

お礼

ありがとうございました。参考にさせていただきます。