2次曲線（楕円）についての質問です

質問

2次曲線（楕円）についての質問です

f(x,y)=x^2-2xy+3y^2-2x+10y+1
としたときの
f(x,y)=0
が、楕円になることはグラフ作成ソフトからわかりました
楕円が傾いたグラフになりました

しかし、f(x,y)=0がどのようなグラフになるのかソフトを使わずには分かりません

そこで、このf(x,y)=0がどのようなグラフになるのかを計算で求める方法を教えてください
楕円になることすら、完璧には分かりません
参考になるサイトなどあればそちらも教えてください

できれば高校の範囲で答えてほしいですが、超えてもかまいません

よろしくおねがいします!!

回答No.4

htms42

＃３です。
すみません。書き間違いをしました。

＞＃１の回答にある勾配１／３の直線よりも勾配が大きいです。

「＃２の回答にある・・・」の間違いです。

＃１様、申し訳ありませんでした。

回答No.3

htms42

「楕円が傾いたグラフになった」ということは
ｘ軸、ｙ軸を回転させてｘ'軸、ｙ'軸を作ればいいということですね。

ｙ＝ａｘの直線を考えます。これがｘ'軸になります。ｘ軸からｘ'軸へは　ｔａｎθ＝ａ　で決まる角度θ回転させたことになります。ｙ軸からｙ'軸（直線ｙ＝－(１／ａ)ｘ）へも同じ角度の回転です。
点Ｐの座標が（ｘ、ｙ）だとします。Ｐを新しい座標ｘ'、ｙ'で表したものを（α、β）とします。αはＰからｙ＝ａｘに垂線をおろせば分かります。βはＰから直線ｙ＝－(１／ａ)ｘに垂線をおろして求めます。
垂線をおろした時の関係から
ｘ＝αｃｏｓθ－βｓｉｎθ
ｙ＝αｓｉｎθ＋βｃｏｓθ
であることも分かります。これをｆ(ｘ、ｙ)＝０に代入します。
整理してαβの前の係数＝０となるように角度を決めてｔａｎθを求めると
αβの出てこないα、βについての二次式が得られます。これは普通の楕円の式になっています。

αβの前の係数＝０　から
ｔａｎ２θ＝１　　
ｔａｎθ＝√３－１
（θ＝π／８）
が出てきます。

＃１の回答にある勾配１／３の直線よりも勾配が大きいです。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

グラフにするということは、y＝・・・の形にするのが定番ですね。
ですので、その形に変形してみます。
どのようにして変形するのかが問題ですが、yの 2次方程式とみて解いてしまいます。

いまの曲線であれば、
y＝ 1/3* { x- 5±√(2* (11- x^2 -2x)) }

となります。
上の式をよくみれば、曲線のグラフは直線：y＝ 1/3* (x- 5)を境界として
・上半分 ＋1/3*√(2* (11- x^2 -2x)
・下半分 －1/3√(2* (11- x^2 -2x)

がくっついている形になることは想像できると思います。

これだけだと、まだ少し想像がつきにくいので、この「上半分」だけを考えてみます。
√の中身である 11- x^2 -2x＝ 0の解をα、βとすると、
1/3* √(2* (11- x^2 -2x)＝ 1/3* √(2* (x- α)(β- x))

と表され、これは 2点(α, 0)、(β, 0)を直径とする半円を表していることがわかります。
（ここまでの過程を「逆再生」するイメージで）この半円に対する x軸を直線：y＝ 1/3* (x- 5)に重なるように傾けた図形・・・これがもとの曲線になっています。
「下半分」についても同様です。

気づかれているかもしれませんが、この考え方がわかっていると「囲まれた部分の面積」を計算することができます。
面積を求めるときの計算を考えれば
∫[x＝α～β] { (上半分)－(下半分) } dx
＝2*∫[x＝α～β] 1/3* √(2* (x- α)(β- x)) dx

半円の面積×2として計算することができます。（最後は解と係数の関係を利用します。）

お礼

回答ありがとうございます

これは 2点(α, 0)、(β, 0)を直径とする半円を表していることがわかります。

がよくわかりません…
まず、円ではありません

また、グラフを見れば自明なんですが、傾きはtanθ≠1/3です

補足

お礼の続きです

よく読んでみたら、

上の式をよくみれば、曲線のグラフは直線：y＝ 1/3* (x- 5)を境界として
・上半分 ＋1/3*√(2* (11- x^2 -2x)
・下半分 －1/3√(2* (11- x^2 -2x)

の部分を誤解していました
こうすることで、一度楕円の標準形が分かるという事ですね!!

ありがとうございました

回答No.1

spring135

二次曲線
ax^2+2hxy+by^2+2fx+2gy+c=0(1)
は座標の平行移動によって
ax^2+2hxy+by^2+c'=0(2)
に変換できる。
(1)及び(2)において
h^2-ab<0:楕円、円
h^2-ab>0:双曲線、交わる2直線
h^2-ab=0:放物線、平行2直線

詳しくは下記のurl参照。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/surface.htm

お礼

回答ありがとうございます

h^2-ab<0:楕円、円
h^2-ab>0:双曲線、交わる2直線
h^2-ab=0:放物線、平行2直線

は本当に役に立ちます!!
楕円かどうかは、これを確認すればいいわけですね！！