楕円体の表面積について

質問

すみません、自分の計算結果に自信が持てないので、確認したいのですが、
http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/daenmen.htm
を参考にして、a=3、c=1の楕円体の表面積を求めたところ、42.7になったのですが、合っているか確かめられる方はいませんか？

回答No.10

siegmund

siegmund です．

> ついに解に到達しました。ありがとうございました。

Congratulations!

> ちなみに、宜しければもう少しお聞きしたいのですが、
> ∫ √(t^2 + p) dt
> = (1/2){t√(t^2 + p) + p log |t + √(t^2 + p)|}
> の導き方については、面倒だとは、思うのですが、ご教授願えませんか？

(√p)t をあらためて t と書けば，
∫ √(t^2 + 1) dt がわかればよいことになります．
以下，これでやります．
p は最後に適当に修正すればよいでしょう．

すぐに見えるのは，
(1)　　1 + tan^2(θ) = sec^2(θ) = 1/cos^2(θ)
になることを考えて
(2)　　t = tanθ
と置くことですが，これだと
(3)　　dt = {1/cos^2(θ)} dθ
だから
(4)　　∫{1/cos^3(θ)} dθ
が出てきて，またこれから苦労します．
ルートが分母にある形の
(5)　　∫{1/√(t^2 + 1)} dt
だったら，(2)で簡単になるのですがね．

で，双曲線関数を使った方が簡単です．
(6)　　cosh^2(u) - sinh^2(u) = 1
になることを考えて，
(7)　　t = sinh(u)
とおきます．
こうすれば，dt = cosh(u) du から
(8)　　∫cosh^2(u) du = (1/2){sinh(u) cosh(u) + u}
で簡単に計算できます(所詮，双曲線関数は指数関数で書けますから)．
あとは，(8)の {　} の第１項は
(9)　　sinh(u) cosh(u) = t√(t^2+1)
ですね．
第２項の方は，u を t に戻してやる必要があります．
(10)　　u = arcsinh(t)
ですが，実は arcsinh(t) は
(11)　　arcsinh(t) = log{t + √(t^2+1)}
です．

あとはお任せします．
また，どこかミスタイプや書き損ないがあるかも知れませんから，
チェックもよろしく．

回答No.9

siegmund

siegmnd です．

係数を整理すると
(a) 　　S = (2πa/c^2)∫{-c～c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
　　　　　= (2πa/c^2) √(a^2-c^2) I
(b)　　 I = ∫{-c～c} √{z^2 + p} dz
　　　　　= (1/2){z√(z^2 + p) + p log |z + √(z^2 + p)|} {-c～c}
(c)　　 p = c^4/(a^2-c^2)
ですね．

計算間違いなのか，式を書くときの間違いなのかわかりませんが，
お礼に書かれた式は積分のところだけ取り出した式と
全体の表面積の式が混乱しているようです．

√(a^2-c^2) が全体にかかっているあたり(S の(a)式の２行目)は大丈夫ですか．
log の前に p/2 がありますから，log のところの係数は全部あわせて
(2πa/c^2) √(a^2-c^2) (p/2) = πac^2 / √(a^2-c^2)．

第一項については，
√(c^2 + p) = ac/√(a^2-c^2) となるあたりとか
(つまり，S の式(a)の２行目の √(a^2-c^2) とキャンセルして √が消える)，
そこらんへんにミスがないでしょうか．

お礼

ついに解に到達しました。ありがとうございました。

√{c^4+(a^2-c^2)z^2} = √(a^2-c^2)√{c^4+(a^2-c^2)z^2}/√(a^2-c^2) = √(a^2-c^2)√{c^4/(a^2-c^2)+z^2}

とするのが、ポイントでしたね。

ちなみに、宜しければもう少しお聞きしたいのですが、
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |t + √(t^2 + p)|}
の導き方については、面倒だとは、思うのですが、ご教授願えませんか？

回答No.8

siegmund

siegmund です．

すみません，ミスタイプしました．
No.6 の回答で
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |p + √(t^2 + p)|}
と書いたのは
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |t + √(t^2 + p)|}
と訂正してください(log | のすぐあと)．

もうミスがなけりゃいいんですが．

お礼

ありがとうございます。
うーーーん、何故かまだ解に至れません。

∫{-c～c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
=aπ/c^2[{(a^2-c^2)^0.5}z{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5+c^4log|{(a^2-c^2)^0.5}z+[{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5|]{-c～c}
=2πa^2(a^2-c^2)^0.5 + (πac^2) log {[a+√(a^2-c^2)]/[a-√(a^2-c^2)]}

になってしまったのですが、計算間違いしてますか？

回答No.7

siegmund

siegmund です．

> (3)　　S = ∫{-c～c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
> の積分がやはり分かりません。
>
> (dR/dz)^2=(a2z2/c2)(c2-z2)^-1
> でいいのでしょうか？

surfacesurface さんは正しい計算されていると思いますが，
誤解を防ぐために，例えば
(dR/dz)^2 = (a^2 z^2 / c^2) / (c^2 - z^2)
と書いて欲しいところです．

通分すると
1 + (dR/dz)^2 = {c^4 + (a^2 - c^2)z^2} / {c^2(c^2 - z^2)}
になります．
R = (a/c) √(c^2 -z^2)
ですから，
2πR √{1 + (dR/dz)^2}
を計算しますと √(c^2 -z^2) がちょうど分母分子でキャンセルされて
z に関係する部分は
√{c^4 + (a^2 - c^2)z^2}
だけのこります．
それで，
> 積分の本質的部分は
> (4)　∫{-c～c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
と言ったのです．

お礼

本当に本当にありがとうございます。
しかし（！）、まだ解にたどりつけません。
本当にすみません。

∫{-c～c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
=aπ/c^2[(a^2-c^2)z{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5+c^4log|c^4+{(a^2-c^2)z^2+c^4}^0.5|]{-c～c}
=2πa^2(a^2-c^2)

になってしまいました。
本当すみませんが、何が間違っていますかね。

回答No.6

siegmund

siegmund です．

回転楕円体はどらやきみたいな平たい形と，
ラグビーボールみたいな長細い形がありますが，
今は a=b=3，c=1 ですからどらやき型です．

> (1)　　(x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
> から、z一定は分かるのですが、
> x^2+y^2 = R^2と置く意味が分かっていません。

> また、x^2+y^2 = R^2と置いたときでも、
> (1)　　R = (a/c)√(c^2 - a^2)
> と導ける過程が理解できていません。

どらやきをテーブルにおいて，テーブルに平行な平面(z 一定)で切ります．
切り口は円で，(1)を変形した
x^2 + y^2 = a^2 {1-(z^2/c^2)} = R^2．
が円の方程式，その円の半径が R です．
中央で切れば円の半径は最大，上下の端に近づくほど半径は小さくなります．
R = (a/c) √(c^2 -z^2)
ですね．
あれ，すみません，前のスレッドで c^2 - z^2 のところが c^2 - a^2 に
なっていました．
書き損なったか，ミスタイプかです．
混乱させて申し訳ありません．

> さらに、表面積への寄与が
> (2)　　dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
> で示される過程も分かりません。

　　　　　　　　　Ｒ＋ｄＲ
　ｚ＋ｄｚ　┌──────────／
　　　　　　│　　　　　　　　　／
　　　　　　│　　　　　　　　／
　　　　　　│　　　　　　　／
　　　ｚ　　└──────／
　　　　　　軸　　Ｒ　　　

図はどらやきの z～z+dz の部分をテーブルに垂直な面で切ったもの．
言い換えれば，軸を中心に回転すればどらやきの z～z+dz の部分．
右の斜線がどらやきの表面で，これを軸のまわりに回転したときの微小表面積が dS です．
斜線部の長さは √(dz^2 + dR^2) = √{1+(dR/dz)^2} dz ですから，
軸の周りに回転すれば dS = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz です．

どらやき部分に対応する z 座標は -c から c までですから
S = ∫{-c ～c} 2πR √{1+(dR/dz)} dz

> そして、
> (3)　　S = ∫{-c～c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
> の積分の仕方もよく分かりません。

R = (a/c) √(c^2 -z^2) を使えば，
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
にあるように，積分の本質的部分は
(4)　∫{-c～c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
ですから，a>c を考えて
∫ √(t^2 + p) dt
= (1/2){t√(t^2 + p) + p log |p + √(t^2 + p)|}
のタイプの積分(p>0)です．

細かい係数などは適当に整理してください．

> α＝sin-1√(8/9)＝7/9π
にはならないでしょう．

お礼

丁寧に教えて頂き、本当にありがとうございます。ただ、本当に申し訳ないのですが、

> (3)　　S = ∫{-c～c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
の積分がやはり分かりません。

(dR/dz)^2=(a2z2/c2)(c2-z2)^-1
でいいのでしょうか？

回答No.5

siegmund

siegmund です．

もういちどチェックしましたが，やはり 68.2962 のようです．
解析的表現は
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
と
http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroid.html
で同じですので，間違いはないでしょう．

> やっぱ数値積分だと誤差が出るのでしょうね。

そうですね～．
用いる公式(台形，シンプソン，ガウス，...)と分割数にもよりますね．
分母がゼロになる点はありませんから，
ちょっとやれば精度が出る形と思います．

お礼

大変丁寧なご解説ありがとうございました。
α＝sin-1√(8/9)＝7/9π
にしてしまっていたのですが、
どこが間違っていたのでしょうか？

回答No.4

5e777

siegmundさんありがとうございます。
自分にもいい勉強になりました。
やっぱ数値積分だと誤差が出るのでしょうね。

回答No.3

siegmund

私の計算ですと，68.2962 です．
計算は昔の私の回答
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の a>c のときの式に a=3，c=1 を代入しただけです．

5e777 さんのご回答と多少違うのは，5e777 さんの数値積分のためでしょうか？

なお，
∫[0→α](dφ/cosφ)
は
dφ/cosφ = dφ cosφ/cos^2 φ
　　　　　= dφ cosφ/(1-sin^2 φ)
　　　　　= d(sinφ)/(1-sin^2 φ)
とすれば解析的に実行できます．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
の式で log が出てくるのはこういうところからです．
http://mathworld.wolfram.com/OblateSpheroid.html
にも回転楕円体の表面積は載っています．

どこかつまらないミスしていなけりゃいいけれど．

お礼

すみません。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
を見たのですが、理解できていません。

(1)　　(x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
から、z一定は分かるのですが、
x^2+y^2 = R^2と置く意味が分かっていません。

また、x^2+y^2 = R^2と置いたときでも、
(1)　　R = (a/c)√(c^2 - a^2)
と導ける過程が理解できていません。

さらに、表面積への寄与が
(2)　　dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
で示される過程も分かりません。

そして、
(3)　　S = ∫{-c～c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
の積分の仕方もよく分かりません。

ほんとど素人でごめんなさい。
でも、しっかり理解したいので、もし、宜しかったら、ご教授下さい。

回答No.2

5e777

ｂの値は？とか聞いてて遅れてごめんなさい。
自分が計算したら答えは、67.94 になりました。

リンク先の文字を使うと、
k=1
α=1.231
になりました。
ここで、Basicで答えを求めてみると上のような答えになりました。
Basicを使った理由は、∫[0→α](dφ/cosφ)の積分ができなかったからです。。。
ちょっと現役から離れていたもので。

回答No.1

5e777

ｂの値はいくつなんですか？
１～３の間ってのは分かりますが…

お礼

a=3, b=3, c=1
です。宜しくお願いします。