ラプラス変換の問題

質問

至急回答（解き方）お願いします。
tx''-(1+t)x'+2x=t-1 ,t>0 , x(0)=0 , x'(1)=3
をラプラス変換の微分の性質に注意して解きなさい。
ヒントは図にあります。

という問題が出されたのですが、どなたか分かる方いらっしゃいませんか？
全く分からなくて困っています。お助けください。

答えは
x(t)=t+t^2
となるそうですが・・・

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回答No.2

ereserve67

ANo.1です．最後の方にタイプミスがありました．少し，詳細にして再回答します．

L(x(t))=X(s)，dX(s)/ds=X'とかきます．

左辺のLaplace変換を計算します．

L(tx''-(1+t)x'+2x)=L(tx'')-L(x')-L(tx')+2L(x)

ここで

L(x')=sL(x)-x(0)=sX

L(tx')=-d(sX-x(0))/ds=-(X+sX')

この左辺でxの代わりにx'を用いると，右辺でXの代わりにsX-x(0)=sXを用いると

L(tx'')=-{sX+s(sX)'}=-(sX+s(X+sX'))=-2sX-s^2X'

であるから

L(tx''-(1+t)x'+2x)=-2sX-s^2X'-sX+X+sX'+2X

=-s(s-1)X'-3(s-1)X=(1-s)(sX'+3X)

一方右辺のLaplace変換を計算すると

L(t-1)=L(t)-L(1)=1/s^2-1/s=(1-s)/s^2

∴(1-s)(sX'+3)=(1-s)/s^2

sの恒等式とみて，

(☆)sX'+3X=1/s^2

同次形sX'+3X=0，X'/X=-3/sの解は

log|X|=-3logs+C，X=A/s^3

Aをsの関数と見て（定数変化法）

X'=A'/s^3-3A/s^4

∴sX'+3X=A'/s^2-3A/s^3+3A/s^3=A'/s^2

☆に代入すると

A'/s^2=1/s^2，A'=1

∴A(s)=s+B

∴X(s)=1/s^2+B/s^3

∴x(t)=t+Bt^2/2，x'(t)=1+Bt

x'(1)=1+B=3よりB=2で

x(t)=t+t^2

回答No.1

ereserve67

L(x(t))=X(s)，dX(s)/ds=X'とかきます．

左辺のLaplace変換を計算します．

L(tx''-(1+t)x'+2x)=L(tx'')-L(x')-L(tx')+2L(x)

ここで

L(x')=sL(x)-x(0)=sX

L(tx')=-d(sX-x(0))/ds=-(X+sX')

L(tx'')=-{(sX-x(0))+s(sX-x(0))'}=-(sX+s(X+sX'))=-2sX-s^2X'

であるから

L(tx''-(1+t)x'+2x)=-2sX-s^2X'-sX+X+sX'+2X

=-s(s-1)X'-3(s-1)X=(1-s)(sX'+3X)

一方右辺のLaplace変換を計算すると

L(t-1)=L(t)-L(1)=1/s^2-1/s=(1-s)/s^2

∴(1-s)(sX'+3)=(1-s)/s^2

sの恒等式とみて，

(☆)sX'+3X=1/s^2

同次形sX'+3X=0，X'/X=-3/sの解は

log|X|=-3logs+C，X=A/s^3

Aをsの関数と見て（定数変化法）

X'=A'/s^3-3A/s^4

∴sX'+3X=A'/s^2-3A/s^3+3A/s^3=A'/s^2

☆に代入すると

A'/s^2=1/s^2，A'=1

∴A(s)=s+B

∴X(s)=1/s^2+B/s^3

∴x(t)=t+Bt^2，x'(t)=1+2Bt

x'(1)=1+2B=3よりB=1で

x(t)=t+t^2