30数C行列の問題

質問

次の等式を満たす２次の正方行列Cを求めよ。
C＾２＝（１行→２，２　２行→　２，２）

回答No.3

ereserve67

C={{a,c},{b,d}}のとき

t=a+d

d=ad-bc

とおくと，Hamilton-Cayleyの定理より

C^2-tC+dE=O

今t=0とするとC^2=-dEとなり例えば(2,1)成分について2=0となり矛盾．よって

t≠0

∴C=(1/t)(C^2+dE)=(1/t){{2+d,2},{2,2+d}}（☆）

これでt,dの値が分かればCがわかる．このCの表現から再度トレースtと行列式dを計算する．

t=(1/t)2(2+d),d={(2+d)^2-4}/t^2=d(4+d)/t^2

するとt,dの連立方程式が得られる．

(1)t^2=2(2+d)（≠0）
(2)t^2d=d(d+4)

(2)からd=0またはt^2=d+4．d≠0とすると(1)より

d+4=2(2+d)∴d=0矛盾！

よってd=0．(1)よりt^2=4,t=±2．☆に代入して

C=±(1/2){{2,2},{2,2}}=±{{1,1},{1,1}}

つまりCは成分がすべて1か，成分がすべて-1の2次正方行列．

回答No.2

aries_1

行列C={一行:a,b、二行:c,d}とする。
また、Cを(一行一列,一行二列,二行一列,二行二列)と書く。

このとき、C^2=(a^2+bc,b(a+d),c(a+d),d^2+bc)…(1)となる(←覚えておくと後々ラクです)

後は、(1)と(2,2,2,2)を比較して各行,各列に対して「a^2+bc=2」等と等式を立て、連立方程式を解いてa,b,c,dを求めるだけです。

回答No.1

Willyt

Ｃ＝要素がすべて１の２行２列の行列　です。Ｃ×Ｃを計算して見て下さい。