行列の問題：奇数次の正方行列と等式の証明
- 行列Ａは奇数次の正方行列で、転置行列がＡのマイナスであるとき、行列式Ａは０を示します。
- x、y、zを０でない数としたときの等式の証明の手順が分かりません。
- ヒントや導き方を教えてください。
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行列の問題なのだが・・。
・Ａは奇数次の正方行列で、tA（Ａの転置行列）＝－Ａを満たすモノとしたとき｜Ａ｜＝０を示したいです。 この場合、どのような手順で進めていけばいいのですか？また、奇数次というのはどこに関係してくるのですか？ ・x,y,zを０でない数としたとき次の等式を証明したい。 | a1+xb1 b1+yc1 c1+za1 | | a1 b1 c1 | | a2+xb2 b2+yc2 c2+za2 | = (1+xyz)| a2 b2 c2 | | a3+xb3 b1+yc3 c1+za3 | | a3 b3 c3 | この場合、先ず何をすべきかが分かりません。 ヒントや、導き方を教えてください。
- akatukinoshoujyo
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下はたぶん誤植ですね。 (3,2)と(3,3)成分が誤植であるとみなしてやります。 | a1+xb1 b1+yc1 c1+za1 | | a2+xb2 b2+yc2 c2+za2 | = | a3+xb3 b3+yc3 c3+za3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | xb1 b1+yc1 c1+za1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + | xb2 b2+yc2 c2+za2 | = | a3 b3+yc3 c3+za3 | | xb3 b3+yc3 c3+za3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | b1 b1+yc1 c1+za1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + x| b2 b2+yc2 c2+za2 | = | a3 b3+yc3 c3+za3 | | b3 b3+yc3 c3+za3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | b1 yc1 c1+za1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + x| b2 yc2 c2+za2 | = | a3 b3+yc3 c3+za3 | | b3 yc3 c3+za3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | b1 c1 c1+za1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + xy| b2 c2 c2+za2 | = | a3 b3+yc3 c3+za3 | | b3 c3 c3+za3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | b1 c1 za1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + xy| b2 c2 za2 | = | a3 b3+yc3 c3+za3 | | b3 c3 za3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | b1 c1 a1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + xyz| b2 c2 a2 | = | a3 b3+yc3 c3+za3 | | b3 c3 a3 | | a1 b1+yc1 c1+za1 | | a1 b1 c1 | | a2 b2+yc2 c2+za2 | + xyz| a2 b2 c2 | | a3 b3+yc3 c3+za3 | | a3 b3 c3 | 詳しいこととはテキストにあると思うので追ってください。 簡単に説明しておくと、一番上は列の分解、 その次はx倍をくくりだしたもの、その次は 二列目から一列目を引いたもの、あとはそのくり返し、 最後は列の入れかえです。
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- adinat
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上の問題だけ解答しておきます。 tA＝－Ａ の両辺の行列式をとると ｜tA｜＝｜A｜ （転置をとっても行列式は変わらない） ｜-A｜＝(-1)^n｜A｜ （-Aは行列Aの全ての行を-1倍したもの） に注意すれば ｜A｜＝(-1)^n｜A｜ となります。ただしAはn次正方行列とします。 いまnは奇数としたのだから｜A｜=0です。 ちなみにn=2だと (0 -1) (1 0) なんていうのが該当しますね。 この行列式は1なので0にはなりません。
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