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運動方程式の導出で困っているので教えてくれませんか
ereserve67の回答
Ωは定数と仮定します． (1)XYZ系で↑ω=(0,0,Ω)=Ω↑k'（つまりΩは↑ωのZ成分であり，大きさでもあります） (2)XYZ系はxyz系に対し角速度↑ωで回転運動する運動座標系です．任意のベクトル↑aに対して公式 d↑a/dt=d*↑a/dt+↑ω×↑a があります．ここで ↑a=a_x↑i+a_y↑j+a_z↑k=a_X↑i'+a_Y↑j'+a_Z↑k' とするとき， d*↑a/dt=(da_X/dt)↑i'+(da_Y/dt)↑i'+(da_Z/dt)↑k' は運動座標系XYZからみた↑aの時間変化です．↑a=↑i=↑i'+0↑j'+0↑k'とすると，これはXYZ系での定点X=1,Y=Z=0を表しますから当然d*↑a/dt=↑0です．すなわち d*↑i'/dt=(d1/dt)↑i'+(d0/dt)↑i'+(d0/dt)↑k'=↑0 したがって d↑i'/dt=↑ω×↑i' となります． (3)これは外積を直角座標系の成分で表すための便宜的な表現です．第1行に関して展開しなさいという意味です． (4)(2)でも示した通り，回転座標系XYZにおける点(1,0,0)を静止座標系xyzでみるとこの点が時間的に変化しているということを表します．↑i'を静止座標系xyzの成分で ↑i'=x↑i+y↑j+z↑k とかくと(1)で示したように↑ω=Ω↑k'=Ω↑k(↑k'=↑kに注意，今の場合Z軸はそのままz軸)ですから， d↑i'/dt=(dx/dt)↑i+(dy/dt)↑j+(dz/dt)↑k ↑ω×↑i'=Ω↑k×(x↑i+y↑j+z↑k)=Ω{x(↑k×↑i)+y(↑k×↑j)+z(↑k×↑k)}=Ω(x↑j-y↑i) ∴(dx/dt)↑i+(dy/dt)↑j+(dz/dt)↑k=Ω(x↑j-y↑i) ⇔dx/dt=-Ωy,dy/dt=Ωx,dz/dt=0 ⇔d(x+iy)=iΩ(x+iy),z=z(0)（定数) ここにiは虚数単位です．複素数x+iyは第1式からx+iy={x(0)+iy(0)}e^{iΩt}です． x(0)=1,y(0)=z(0)=0 ですから，x+iy=e^{iΩt},z=0すわなち ↑i'=cosΩt↑i+sinΩt↑ｊ=(cosΩt,sinΩt)(xyz系から） つまり，静止座標xyz系から運動座標XYZ系のX方向の基本ベクトルをみると，角速度Ωでz=Z軸の周りを回転していることがわかります． ※http://www.sp.u-tokai.ac.jp/~yasue/ffn/riki-12.pdf
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