二次関数の問題

質問

放物線C：y=ax^2(a>0)と双曲線ｈ：y=k/x(k>0)が右の図のように点Aで交わっている。双曲線ｈが点(-4,-8)をとおり、点Aのx座標が２であるとき、次の問いに答えなさい。

問題
双曲線ｈ上に点Bをとったとき、△OABの面積が２４となった。ただし、点Bのx座標は２より大きいものとする。このとき、点Bの座標を求めなさい。

この問題なんですが、解説を読んでも理解できません。
解説
OA上に、DBとx軸が平行になるような点Dをとる。
ここで、B（ｔ、32/t)とする。
OAの式はy=8xであるから、
32/t＝8x,x=4/tよりD（4/t,32/t)
ここまで理解できました。

このとき。△OABの面積について、1/2BD×16=24,1/2(t-4/t)×16=24
しかし、なぜ△OABの面積が1/2×BD×１６になるのかわかりません。
自分で図形を作って書いてみたのですが、この図形が間違っているのでしょうか？

教えてください。

回答No.1

Wis10 · ベストアンサー

OAの式は y = 8x 、 そして点Aのx座標が2なので、点Aのy座標は16になります。

ここで、点Aからx軸に下ろした垂線の、BDとの交点を点P、x軸との交点を点Qとおき、△OABを△ABDと△OBDに分けて考えます。
　△OAB = △ABD + △OBD
ですが、
　△ABD = BD * AP / 2
　△OBD = BD * PQ / 2
なので、△OAB = BD * AP / 2 + BD * PQ / 2 より
　△OAB = BD * ( AP + PQ ) / 2
となります。AP+PQ ( =AQ ) はそのまま点Aのy座標の値 ( 16 ) になるので、
　△OAB = BD * 16 / 2
になります。ですので、図が間違っているというわけではないですよ＾＾

お礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすい解説です。
ありがとうございました。

回答No.3

Dr-Field

解説通りにするのも良いのですが、私ならこうします。
すなわち、双曲線ｈが点(-4,-8)をとおり、点Aのx座標が２であることから、点Aは（2,16)であることが簡単に求まりますし、放物線Cはy=4x^2、双曲線hはy=32/xと求まります。
点Bは双曲線上の点ですので、座標を（b、32/b)と置きます。また点Aからy軸に垂線をおろして交点をY（→(0,16)）、点Bからx軸に垂線をおろして交点をX（→(b、0)）とおき、直線YAと直線XBトノ交点を点Zとおくと、長方形OXZYから△OXBの面積と△OAYの面積（これらは計算すると、いずれも16になる）と△ABZの面積を引いたものが24になる。←この関係式からb＝4と求まり、点B＝（4,8）と求まります。
△ABZの面積は、面倒に思えるかもしれませんが、点Aと点Bの座標を入れて計算してみてください。非常にきれいに解けます。

これならば、点Dの座標を求めることもなく、方法論としては中学生でも理解できると思います。

お礼

回答ありがとうございました。
自分でやってみました。
たしかにこちらのほうがわかりやすいかもしれません。
ほかの方法を教えてくださりありがとうございます。

回答No.2

red0176

10年ぶりの2次関数に挑戦してみましたｗ

ADBの底辺はDB
ODBの底辺もDB二つの高さの合計はAのY座標なので16です。
例えば

ADBの高さが8でODBの高さが8でもBDが10だとして
合計の面積の答えは1/2*10*8 + 1/2*10*8 = 80

ADBの高さが1でODBの高さが8でもBDが15だとして
合計の面積の答えは1/2*10*1 + 1/2*10*15 = 80

です。
つまり底辺が同じであれば高さは合計した物で計算できます。

お礼

回答ありがとうございました。
１０年ぶりとは思えないです。