数学教えてください！

質問

図は、正四角錐と直方体を合わせた形で、点A,B,C,D,E,F,G,H,I を頂点とする立体を表している。
正四角錐ABCDEは、辺の長さが全て6cmである。
辺BFの長さは、正四角錐ABCDEの高さに等しい。

次の(1)~(2)の□の中にあてはまる最も簡単な数を記入せよ。
ただし、根号を使う場合は√の中の最も小さい整数にすること。

(1)図に示す立体において、辺ADの中点をMとし、辺AC上に点Pを、
BP+PMの長さが最も短くなるようにとる。
このとき、BP＋PMの長さは□cmである。

(2)図に示す立体において、△AFDの面積は□cm2である。

教えていただけると助かります。

回答No.3

yyssaa

まず正四角錐ABCDEの高さを求める。
正四角錐ABCDEの側面(例えば△ABC)は1辺が6cmの正三角形
なので、その高さは6*(√3)/2=3√3cm
正四角錐ABCDEの底面(正方形BCDE)の重心と底面の各辺との
距離は6/2=3cm
よって正四角錐ABCDEの高さ=√{(3√3)^2-3^2}=√18=3√2cm
従って辺BFの長さは3√2cm
(1)図に示す立体において、辺ADの中点をMとし、辺AC上に
点Pを、BP+PMの長さが最も短くなるようにとる。
このとき、BP＋PMの長さは□cmである。
＞
線分APの長さをxとすると、余弦定理により
BP^2=AB^2+x^2-2AB*xcosπ/3=36+x^2-12x(1/2)=x^2-6x+36
PM^2=AM^2+x^2-2AM*xcosπ/3=9+x^2-6x(1/2)=x^2-3x+9
BP+PM=y(x)とおくとy(x)=√(x^2-6x+36)+√(x^2-3x+9)
から極小値を持つと考えられるので、y'=dy/dx=0を満たす
xを求める。
y'=dy/dx=(1/2)(2x-6)/(x^2-6x+36)^(1/2)
　　　　　　　　　　　　+(1/2)(2x-3)/(x^2-3x+9)^(1/2)
右辺を通分して分子=0の解を求めるとx(x-2)=0、x=0又はx=2
となる。
x=0のとき、BP+PM=y(0)=√36+√9=9
x=2のとき、BP+PM=y(2)=√(2^2-6*2+36)+√(2^2-3*2+9)
=√28+√7=3√7
よって求めるBP＋PMの長さは3√7cm・・・答え
(2)図に示す立体において、△AFDの面積は□cm2である。
＞
Aから面FGHIへ下ろした垂線の長さは正四角錐ABCDEの高さの
2倍なので=6√2cm
Fと面FGHIの重心との距離は3√2cm。
よってAF=√{(6√2)^2+(3√2)^2}=√(72+18)=3√10cm
FD=√(FH^2+DH^2)=√{(6√2)^2+(3√2)^2}=√(72+18)
=3√10cm
従って△AFDは底辺がAD=6cmで等辺がAF=DF=3√10cmの二等
辺三角形。高さは√{(3√10)^2-3^2}=√(90-9)=9cm
よって△AFDの面積は(1/2)6*9=27cm^2・・・答え

回答No.2

KEIS050162

三平方の定理をゴリゴリとやっていくと全部計算出来そうですね。

１）
正三角形ＡＢＣ　と　ＡＣＤを展開図として並べてみれば、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形になります。
Ｍは、ＡＤの中点なので、ＭＣはＡＤと直角になります。
ＢＰ、ＰＭが最短になる様な点Ｐとは、ＢＭ結んだ線とＡＣの交点です。

あとは、三平方の定理で計算すればＢＰ＋ＰＭの長さが求められます。

２）
この立体をＡＢＤを通る平面で切った切断面を考えてみます。ＡＢＦＨＤが同一平面上に来ます。

△ＡＢＤの高さは、
ＢＤが正方形ＢＣＤＥの対角線、
また、ＡからＢＤに降ろした垂線とＢＤの交点は、ＢＤの中点になる、（これをＱとしておきましょう）
あとはそれぞれ三平方の定理を使えば、高さが求められます。

△ＡＦＤの面積は、ＡＤの延長線とＦＨの延長線上の交点をＲすれば、ＨＲ＝ＱＤになります。
高さは既に計算しているので、あとは、

△ＡＦＲの面積から△ＤＦＲの面積をそれぞれ計算して引けばＯＫです。

ご参考に。

回答No.1

B-juggler

えっと、あんまり丸投げはして欲しくないなぁ～。

自分でどこまで分かるか、問題に書きかけている後もあるから、

書いて欲しいね～。

みんな最初から分かっているわけではないんだからね。

知ろうとすることが大事なんだから、ヒントしか出さないよ。

元代数学の非常勤です。

（１）は、下の直方体は全く関係ないね。

四角錐の展開図を考えてみて？

最短距離は直線じゃないだろうか？　これ以外に何にもいらないよ。

（２）は確かに最初面食らうね。

今でもあんまりやりたくはないね＾＾；

直方体の高さがきちんとでないことにはどうにもならないね。

まずこの辺をきれいに。

次もやっぱり展開図なんだろうな～・・・～～。

角度や、辺ＢＣ上の切片？なんかが分かれば、底辺かける高さ割る二　で・・・。

（２）はまだほかにいい方法あると思うよ。

丸投げはしない方がいいね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)