物理（電気分野）で質問があります

質問

物理でに分からない問題があるので質問します

問題
半径aの導体球に電荷Ｑを帯電させると、導体の電位はどうなるのか
球の中心から距離ｒの地点の電位を求めよ

ｒ=aのときは、球表面の電位で１/4πε₀×Ｑ/a
r>aのときは、球外部の電位で１/4πε₀×Ｑ/ｒ

になるのは、分かったのですが…

ｒ<aの場合はどうなるのでしょうか
問題に答えが書かれていなくて、困っております
分かる方がいましたら、教えてください

回答No.3

ereserve67

導体とは何か．それは「完全な導電性をもつ物体」です．だから，少しでも電位差がある場合は電位勾配すなわち電場があることになり，電場により電荷は容易に移動します．その移動は電位差がなくなるまで続き，時間的な変化のない静的な状態になると導体内は一定の電位になります．したがって，ガウスの定理

∫∫E・dS=Q/ε₀

により，電荷は導体内部には存在しないことになります．つまり，表面にのみ電荷は存在します．

こうして導体があるときの電荷密度ρはr=a以外では0になります．電位の公式

V=(1/4πε₀)∫∫∫ρ(r)dv/r

を計算すると

V=(1/4πε₀)Ｑ/r(r>a)

はすぐ出ますが，r≦aのときを含む積分が計算しずらいです．この場合はr=aに面密度σ=Q/(4πa^2)の電荷が分布していると考え，面積分

V(r)=(1/4πε₀)∫∫σdS/r=(σ/4πε₀)∫∫dS/r

を実行します．中心を原点とし，原点と観測点を通る直線をz軸にとります．球面座標r,θ,φをとると

dS=asinθdφadθ　r=√(z^2+a^2-2zacosθ)

となります．あとは積分を実行（※）します．結果は

V(z)=(1/4πε₀)Ｑ/z(z>a),(1/4πε₀）Q/a(z<a)

となります．ｚ=aはどちらの表式に含めてもよいし，zをrと書き直してもよいです．

（※）を実行することは大学1年の物理の教科書に載っているのでは．Newtonポテンシャルの計算と数学的に全く同様です．

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

「演習 電磁気学」,加藤正昭,サイエンス社,1980.6,p.9にこれを解決する問題があります。
(黄色い本です)

その背景には、電荷同士が反発して導体球表面に電荷が分布するという性質があります。
ちなみに、結果は電界が0になります。

回答No.1

maccha_neko

あぁ、導体の中ですか。そりゃあ・・導体ですから、電位は球体内部では一様つまり電位の差は無いでしょう。
これは簡単な思考実験でわかると思います。もし導体球内部のどこかで電位差が生じたら、その間には電界があるっていうことですよね？すると、導体球内の電子が電界に引きずられてズルズル・・・と＋側に向かって移動します。－の電荷を帯びた電子が移動するというのは、電位差が打ち消される方向です。
これは電位差があるあいだずっと続き、結果的に電位差が無い状態で電子の移動も止まって安定しますよね？