物理の質問です。 半径aの金属球に電荷Qを与えた時

質問

物理の質問です。 半径aの金属球に電荷Qを与えた時の電場をr>a,r<aに分けて求めよ。 まず電荷が球の表面に一様に分布すること（電荷の面密度がQ/4πa^2)を説明せよ。 です。回答お願いします。

回答No.2

noname#175206

金属内の電子は自由に動き回れるようになっています。電荷の有無に関わらず、電子は金属表面に集まります。その集まり方は、電子の分布による電場的な位置エネルギーが最小になるように落ち着きます。要は、水が必ず低いところに流れるようなものです。

　金属球であれば、その表面に球殻のように電子は一様に分布します。なぜなら球殻でどの二つの電子を近づけるにも遠ざけるにも力を加えねばなりません。球の半径方向に動かすにも力が必要です。球の表面に一様に分布するのが電場的な位置エネルギーとして最低になるので、それが安定するわけです。

　球殻にその電場と電位については、以下の要領でいいでしょうか。球殻の外では球殻の中心に全ての電荷が集まった場合と同じになります。

http://nazolab.net/qa/q/177

　でも、これでは足りません。電子が金属球から全て奪われるように帯電したらどうなるか。残っているのは正の電荷の原子核だけです。それが球の中で一様に分布しています。
　これは球が球殻の積み重なりと考えればいいでしょうね。ネット検索すると、見つかると思いますので、調べてみてください。表面電荷もきちんと出ますよ。

回答No.1

ereserve67

導体とは何か．それは「完全な導電性をもつ物体」です．だから，少しでも電位差がある場合は電位勾配すなわち電場があることになり，電場により電荷は容易に移動します．その移動は電位差がなくなるまで続き，時間的な変化のない静的な状態になると導体内は一定の電位になります．したがって，ガウスの定理

∫∫E・dS=Q/ε₀

により，電荷は導体内部には存在しないことになります．つまり，表面にのみ電荷は存在します．

こうして導体があるときの電荷密度ρはr=a以外では0になります．電位の公式

V=(1/4πε₀)∫∫∫ρ(r)dv/r

を計算すると

V=(1/4πε₀)Ｑ/r(r>a)

はすぐ出ますが，r≦aのときを含む積分が計算しずらいです．この場合はr=aに面密度σ=Q/(4πa^2)の電荷が分布していると考え，面積分

V(r)=(1/4πε₀)∫∫σdS/r=(σ/4πε₀)∫∫dS/r

を実行します．中心を原点とし，原点と観測点を通る直線をz軸にとります．球面座標r,θ,φをとると

dS=asinθdφadθ=a^2sinθdφdθ　r=√(z^2+a^2-2zacosθ)

となります．あとは積分を実行（※）します．rは積分変数として使ったのでこんどは観測点までの距離として使うとz→rとして

V(r)=(1/4πε₀)Ｑ/r(r>a),(1/4πε₀）Q/a(r<a)

となります．r=aはどちらの表式に含めてもよいし，zをrと書き直してもよいです．

これから電場Eを計算すると，r<aでE=0，r>aで

vecE=-∇V(r)=-(dV/dr)(∇r)=-(Q/4πε₀)(-1/r^2)(vec(r)/r)=(Qvec(r)/4πε₀r^3)

となります．

（※）を実行することは大学1年の物理の教科書にNewtonポテンシャルの計算として載っていることが多いです．

∫∫dS/r
=∫∫asinθdφadθ/r
=a^2∫_0^{2π}dφ∫_0^πsinθdθ/√(z^2+a^2-2zacosθ)
=2πa^2∫_0^πsinθdθ/√(z^2+a^2-2zacosθ)
=2πa^2∫_1^{-1}{-d(cosθ)}/√(z^2+a^2-2zacosθ)(sinθ=tと置換)
=2πa^2∫_{-1}^1dt/√(z^2+a^2-2zat)
=2πa^2[√(z^2+a^2-2zat)/(-za)]_{-1}^1
=2πa^2{√(z^2+a^2-2za)-√(z^2+a^2+2za)}/(-za)
=2πa/(-z)(|z-a|-|z+a|)
=2πa(z+a-|z-a|)/z
=4πa(z<a)または4πa^2/z(z>a)

V(z)=(σ/4πε₀)∫∫dS/r
={Q/(16π^2a^2ε₀)}(4πa)(z<a)または{Q/(16π^2a^2ε₀)}(4πa^2)/z(z>a)
=Q/(4πε₀a)(z<a)またはQ/(4πε₀z)(z>a)

お礼

ほんとにありがとうございます！