電磁気学の問題なんですが

質問

半径aの球内に負電荷－Qが一様に分布し、その中心に正の点電荷Qがあるとき、この球内外の電場を、球の中心からの距離rの関数として表せ。
という問題なんですが、半径aの球内に負電荷－Qが一様に分布するという状況とその電場は理解できるのですが、中心に正の点電荷Qがあるという状況がイマイチ解らず関数を出せません。
その状況と回答とまではいいませんが、導き方を教えてほしいのです。解る方がいましたらお願いします。

回答No.3

First_Noel · ベストアンサー

＃２さまのを詳しくになりますが，
ガウスの法則の積分形を使ってさくっと答えが出ます．
電磁気の教科書では必ず載っているほどの基本的な問題ですよ．

ヒント：
半径ｒの閉曲面（球面）を考えます．
その表面積は，Ｓ＝４πｒ＾２
その体積は，Ｖ＝（４／３）πｒ＾３
その体積内にある電荷の合計ｑは，
ｑ＝＋Ｑ－Ｑ＊（ｒ＾３／ａ＾３）
以上より，ガウスの法則の積分形を使って，この球面に垂直な電場成分Ｅｎ＝？？？

回答No.4

First_Noel

＃４です．
書き忘れましたが，勿論，ｒ＜ａ，ｒ＞ａで場合分けが必要ですよ．

あと私度忘れしましたが，この場合は考えなくても良いでしょうが，
もしこの問題で一方の電荷のみの分布の場合には，
境界（ｒ＝ａ）での電場に注意しなくてはいけなかったと思います．

なのでこの問題では，ｒ＜ａ，ｒ≧ａでの場合訳ですね．

回答No.2

hatman34

まず「球内に一様に分布」の意味ですが、「球の表面に一様に分布」の意味ではないでしょうか？その前提を置くと、
１．球の外の点では、球表面の－Ｑと中心のＱは打ち消しあって電界は０になると思います。

２．球の内部では、球の表面の－Ｑは内部では打ち消しあって０になる（注参照）ので、球中心の点電化Ｑによる電界だけを考えればよい。

注：球内の任意の点を頂点とする微小円錐（両側に伸びている）を考える。球表面との交わり（球表面の一部）の電荷は表面積に比例するが、円錐頂点からの距離の２乗に反比例するので、打ち消しあう。

－－－－－－－－－－－－
さて、最初の前提（「球の表面に一様に分布」）が違っていて「球の内部に立体として一様に分布」の場合は、

１．球の外の点では、上記と同じで電界は０

２．球の内部の点では、負電荷については、中心からの
距離に比例する電界となり（注参照）、中心の正電荷の効果との重ねあわせになります。

注：その点の外側に一様分布する負電荷の効果は打ち消しあい０となる。内部の負電荷は半径の３乗に比例し、距離の２乗に反比例との相殺で「中心からの距離に比例する電界」となる。

ウーン、図があるとわかりやすいんですがね。

回答No.1

siegmund

電場は重ね合わせが効きますから，
一様分布の負電荷が作る電場 E(-) と
球の中心にある正の点電荷が作る電場 E(+) を加えればいいのでは？
もちろん，加えるのはベクトル的に加える必要があります
(と言ったって，電場が動径方向を向いているのは明らかですから
符号に注意するだけですが)．

点電荷の作る電場はそれこそテキストそのままでしょう．

一様分布の負電荷が作る電場を求めるのはガウスの法則によるのでしょうから，
このときに正電荷の分も一緒に考えてしまう手もあります．