電場の求め方

質問

問題）半径ａの球内に負電荷－Ｑが一様に分布し、その中心に正の電荷Ｑがあるとき、この球内外の電場を、球の中心からの距離の関数として表せ。

という問題で答えが
Ｅ(r)=0
＜r≧aのとき＞
　　　Q/4πε。(1/r*r-r/a*a*a)
　　　＜r≦aのとき＞

となっているんですが答えに行き着きません。。。
解説お願いします。。

回答No.2

FM-8 · ベストアンサー

#1様ご回答のとおり，「ガウスの定理」というのを
使うわけですが，
ガウスの定理というのは，空間をある閉領域(たとえば球)で考えたとき，その表面の電界を表面の法線ベクトルと内積をとって積分すると，閉領域の中の電荷の総量に誘電率をかけたものになるというものです．
電界計算ではよく使います．
これを使うときは，対象性を考えると簡単になります．

たとえば，今回の場合，半径aの球の内部に均一に-電荷が
分布し，その中心に，+電荷がいるわけですので，
あきらかに，点対称な問題です．

「点対称」とは，この空間ではいたるところで，
中心から外に向かう方向に電界が向いているということです．
また，中心からの距離r が一定の位置(半径rの球の表面)では，電界の大きさは同じであるということです．

よって，半径rの球面をガウスの積分の面とすると，

r>a (半径aの球の外側)
電界の大きさをEとすると，
E * 4πε。r^2 = (-Q) + Q
-Qは，半径rの球の内部の-電荷の総量．
+Qは，半径rの球の内部の+電荷の総量．
問題の題意より，(-Q) + (+Q) = 0
よって，
　E = 0

法線ベクトルとの内積とは，電界の表面と直行する
成分のことですので，この場合，そのままEを使えます．(電界が球面と直行しているから)

r<a (半径aの球の内部)
E * 4πε。r^2 = ((4/3)πr^3 / ((4/3)πa^3))*(-Q) + Q
= ((r/a)^3) *(-Q) + Q
= (1-((r/a)^3)) Q
E = (1-((r/a)^3)) Q / (4πε。r^2)

第一項は，球の内部の-電荷の量です．
右辺は，球の内部の電荷の総量になります．

お礼

すごくわかりやすい説明ありがとうございました！
助かりました。

回答No.1

foobar

ガウスの法則(閉曲面から出る電束の総和は、包含する電荷に等しい)+球の対称性を使えば、解けるかと思います。

お礼

解説いただきありがとうございました。