数列、ベクトルの問題

質問

下記の写真51,53と
53 (4)　k=1Σn k^5をnで表せ

のご解説をお願いします
何卒、宜しくお願いします

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

５１
＞ベクトルを↑で表します。
(1/2)AC↑+(1/2)BD↑=AD
両辺を2倍してAC↑+BD↑=2AD
５３（１）
＞a_k=k(k-1)、a_k+1=(k+1)k
a_k+1^2-a_k^2=(a_k+1+a_k)*(a_k+1-a_k)
=(k^2+k+k^2-k)(k^2+k-k^2+k)=(2k^2)(2k)
=4k^3・・・答え
（２）
＞∑(1→n)k^3=(1/4)∑(1→n)(a_k+1^2-a_k^2)
=(1/4)(a_2^2-a_1^2+a_3^2-a_2^2+a_4^2-a_3^2
+・・・・・・・・・・+a_n^2-a_n-1^2+a_n+1^2-a_n^2)
=(1/4)(a_n+1^2-a_1^2)=(1/4)n^2(n+1)^2・・・答え
（３）
＞a_k^3=k^3(k-1)^3、a_k+1^3=k^3(k+1)^3
a_k+1^3-a_k^3=k^3{(k+1)^3-(k-1)^3}
=2k^3(3k^2+1)=6k^5+2k^3・・・答え
（４）
＞k^5=(a_k+1^3-a_k^3-2k^3)/6
∑(1→n)k^5=∑(1→n){(a_k+1^3-a_k^3-2k^3)/6}
=(1/6)∑(1→n)(a_k+1^3-a_k^3)-(1/3)∑(1→n)k^3
第2項は（２）より
-(1/3)∑(1→n)k^3=-(1/12)n^2(n+1)^2
(1/6)∑(1→n)(a_k+1^3-a_k^3)
=(1/6)(a_2^3-a_1^3+a_3^3-a_2^3+a_4^3-a_3^3+・・・・
・・・・・+a_n^3-a_n-1^3+a_n+1^3-a_n^3)
=(1/6)(a_n+1^3-a_1^3)=(1/6)n^3(n+1)^3
よって∑(1→n)k^5=(1/6)n^3(n+1)^3-(1/12)n^2(n+1)^2
={2n^3(n+1)^3-n^2(n+1)^2}/12
={n^2(n+1)^2}{2n(n+1)-1}/12
=(1/12)(2n^2+2n-1)n^2(n+1)^2・・・答え

回答No.2

ferien

ベクトルの矢印は省略します。
＞５１
ＡＢＣＤは平行四辺形→ＡＣ＋ＢＤ＝２ＡＤ
ＡＢＣＤは平行四辺形だから、ＡＢ＝ＤＣ，ＡＤ＝ＢＣ
ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＤ，
ＢＤ＝ＢＣ＋ＣＤ＝ＡＤ－ＡＢだから、
ＡＣ＋ＢＤ＝（ＡＢ＋ＡＤ）＋（ＡＤ－ＡＢ）＝２ＡＤ

ＡＣ＋ＢＤ＝２ＡＤ→ＡＢＣＤは平行四辺形
ＡＣ＋ＢＤ＝２ＡＤより、
（ＢＣ－ＢＡ）＋（ＡＤ－ＡＢ）＝ＡＤ＋ＡＤ
ＢＣ＋ＡＢ＋ＡＤ－ＡＢ＝ＡＤ＋ＡＤ
ＢＣ＋ＡＤ＝ＡＤ＋ＡＤだから、
ＢＣ＝ＡＤ
よって、ＡＢＣＤは平行四辺形