場合の数について

質問

「0 1 2 3 4 5 の６個の数字を用いて4桁の自然数を作るとき、得られる自然数の総和を求めなさい。」 について教えてください。

回答No.1

WaterRyo · ベストアンサー

まず、4桁の数ということは、千の位には0は入りません。

簡単のため、まずは千の位が1の場合について考えます。

このとき、残りの桁の3つの数字は1以外の数字を自由に使えます。

5つの数字から好きな数字を選んで並べる場合の数は5*4*3=60通りです。

つまり、千の位が1の数は全部で60個あります。千の位が2,3,4,5についても同様に60通り。

さらに百の位が1の場合は、千の位が2,3,4,5の4通り、次に十の位が残りの4通り、一の位が残りの3通りで、全部で4*4*3=48通り。

百の位が2,3,4,5についても同様。

同様にして、十、一の位が1～5の場合もそれぞれ48通り。

ところで、たとえば1023は1000+20+3という風にあらわせます。よって、今求めたい総和は、
(1+2+3+4+5)*60*1000　 (千の位の値の総和)
(1+2+3+4+5)*48*100　　(百　　〃　　　　)
(1+2+3+4+5)*48*10　　 (十　　〃　　　　)
(1+2+3+4+5)*48*1　　　(一　　〃　　　　)

の和になります。
つまり(1+2+3+4+5)*60*1000 + (1+2+3+4+5)*48*(100+10+1)=979920
が答えのはずです。

一応、以下のプログラムを動かしても同様の答えが得られました。(言語はC++)

#include <stdio.h>

int main(void){
　int sen,hyaku,juu,ichi,sum=0;
　for(sen=1;sen<=5;sen++){
　　for(hyaku=0;hyaku<=5;hyaku++){
　　　if(hyaku==sen)continue;
　　　for(juu=0;juu<=5;juu++){
　　　　if(juu==sen||juu==hyaku)continue;
　　　　for(ichi=0;ichi<=5;ichi++){
　　　　　if(ichi==sen||ichi==hyaku||ichi==juu) continue;
　　　　　sum+=sen*1000+hyaku*100+juu*10+ichi;
　　　　}
　　　}
　　}
　}
　printf("答えは：%d",sum);
　scanf("%d",&sen);//VisualStudioがコマンドプロンプトを消し去るのをとめる
　return 0;
}

お礼

詳しく解説していただき有り難うございます。