数学です

質問

０≦θ≦π/2 のときの

ｆ(θ)＝cos４θ－４ｓｉｎ＾２θの最小値・最大値

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回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞０≦θ≦π/2 のときの
＞ｆ(θ)＝cos４θ－４ｓｉｎ＾２θの最小値・最大値

cos４θ＝cos（２θ＋２θ）＝＝cos^2（２θ）＋sin^2（２θ）
＝（１－２sin^2θ）^2－（２sinθcosθ）^2
＝１－４sin^2θ＋４sin^4θ－４sin^2（１－sin^2θ）
＝８sin^4θ－８sin^2θ＋１

ｆ(θ)＝cos４θ－４ｓｉｎ＾２θ
＝８sin^4θ－１２sin^2θ＋１
sinθ＝ｘとおくと、０≦θ≦π/2より、０≦ｘ≦１……（１）
ｆ（ｘ）＝８ｘ^4－１２ｘ^2＋１とおくと、
ｆ'（ｘ）＝３２ｘ^3－２４ｘ＝８ｘ（４ｘ^2－３）＝０より、
（１）の範囲で、ｘ＝０，ｘ＝√３／２のとき、極値をとる。
増減表より、
０＜ｘ＜√３／２のときｆ'（ｘ）＜０，√３／２＜ｘ≦１のときｆ'（ｘ）＞０より、、
ｘ＝√３／２のとき、極小値－７／２
ｘ＝０のとき、ｆ（０）＝１
ｘ＝１のとき、ｆ（１）＝－３
よって、
ｘ＝０のとき、最大値１，　このとき、sinθ＝０より、θ＝０
ｘ＝√３／２のとき、最小値－７／２，　このとき、sinθ＝√３／２より、θ＝π／３

増減表を書いて確認してみて下さい。

回答No.1

mister_moonlight

ｓｉｎ＾２θ＝1-cos＾2θ　だから　問題になるのは　cos４θだけ。
cos４θ＝cos2*2θ＝2cos＾2*2θ-1＝2(2cos＾2-1)＾2-1＝8cos＾4θ-8cos＾2θ＋1

0≦cos＾2≦1で、cos＾2＝αとすると　cos４θ－４ｓｉｎ＾２θ＝8α＾2-4α＋1の最大値と最小値を　0≦α≦1で考える事になる。
以下は、自分でやって。