Z/7Z の拡大体の元を簡単な形で表す問題

質問

体　Z/7Z　を考えます。

これに x^3-x-2 の一つの根aを付加して、体　Z/7Z（a） を作ります。

このときa^57 を　Aa^2 + Ba + c の形で表せ、という問題です。

a^4などでしたらそれをa^3-a-2 で割ってもとめればいいのですが、これはそれで求めるようには思えません。

答えは２になるそうなのですが…

分かる方いましたら回答よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

さすがに手計算だと間違えそうなので (というか 1回間違えた) Maxima を使って計算してみたわけですが, (a+2)^19 からちょっとずつ計算していけば出ますね. 例えば
(a+2)^3
(a+2)^4
(a+2)^8
(a+2)^16
(a+2)^19
という順に計算すると, 確かに最終的に 2 になります.

お礼

私もそうやればいい事に気づき、ガリガリ計算していました。
案の定1回間違えましたが確かに2になりました。

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

a^57 = (a^3)^19 = (a+2)^19
のように次数を落としていくか?

補足

確かにそこまでなら次数を落とせるのですが…
これを展開して割り算をするとは思えませんし、ここからどうしてよいかが分かりません…