- ベストアンサー
多様体の問題について
- 多様体の問題について説明します。多様体は次元を持った空間のようなものであり、図形のようなものを表現するために用いられます。
- 多様体の具体的な例として、Sという集合があります。Sは実数の2次元空間内のベクトルで、大きさが1であるものの集合です。また、Sは複素数でも表現できます。
- Sは複数の座標近傍を持ち、それぞれの座標近傍を表す関数が存在します。これらの関数によって、Sの性質や変換などを研究することができます。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 多様体の問題について
S^2={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}とする。 写像fを f:S^2→R^2 f(x,y,z)=(x,y) で定義する。 問 座標近傍系を用い、fのランクをS^2の各点について調べよ。 多様体について勉強していたのですが、この問題にどのように対処したら良いかわからず困ってます。 何をしたらよいのかヒントをください。よろしくお願いします。 (S^2が無限に微分可能な多様体であることはわかっています。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 多様体の問題です。
多様体の問題です。 X,Y:リーマン面 f:X→Y:正則写像(定値でない) P:Xの点 f(P)=Q とする。 fの座標表示が s = t^n (n∈N)となるP,Qでの局所座標表示 t: U_P → ΔP s: V_Q → ΔQ (ΔP,ΔQ:単位開円板) がある。 つまり、リーマン面からリーマン面への正則写像は 局所的には単位開円板の n重写像Δ→Δ: z→z^n と同じ形をしている。 特にfは開写像。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ これの証明を勉強していて、 分からないところがあって質問させてもらいました。 以下の(*)(**)(***)がその箇所です。 (*): 仮定のどの部分を使っているのでしょうか? (**): テイラー展開したのですが、 これはT^nの項でくくれといっているのでしょうか? (***): ここはさっぱり分かりません…。 「C内の半平面」というのは リーマン面Yの局所座標近傍C_zのことですか? この部分から前に進めなくて唸っているので、 どなたかよろしくお願いします。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 【証明】 P,Qでの局所座標T,Sをとる。 fはPの近傍で S=f_T(T), f_T(0)=0 と正則関数表示される。 仮定と正則写像の一致の定理より、 f_T(0)は恒等的に0ではないことが分かる。 (*) f_T(T)をテイラー級数展開し、 係数が零でない最初の項でくくる。 この操作により、SはTの関数として、 S=f_T(T)=T^n*U(T)、 U(0)≠0 (**) の形にかける。 『|T|が十分小さければ、 U(T)の値は全てU(0)を含み、0を含まない (***) C内の適当な半平面に含まれる。 従って、U(T)のn乗根の偏角を一価かつ連続に指定することができる。 こうして、U(T)^(1/n)の1つを正則かつ一価に定めることができる』
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この問題の答と解き方教えてください。
1、実数a,b(b≠0)に対して、関数 e^ax・cosbx,e^ax・sinbx∈C^∞(R) はR上線型独立であることを示せ。 (e^axはeのax乗、C^∞はCの無限界微分のことです。) 2、R^(4)の基底で、ベクトル(2,1,4,3),(2,1,2,0)を含むものを1組求めよ。 3、(1)C^(3) において Λ={v1=(2,i-1,i-1),v2=(1,-1,i),v3=(i,3-i,2i-4)} が基底になることを示し、Λに関する(1,i,i+1)の座標を求めよ。 (2)Ρ3(R)において、 Λ={1,x-2,(x-2)^2,(x-2)^3} が基底になることを示し、Λに関するx^3-3x^2-2x+5の座標を求めよ。 上記の問題が全くといっていいほど分かりません。 是非、回答と解き方を教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの問題についてです。お願いします
ベクトルの問題についてです。お願いします なお、i,j,kは,x,y,z軸方向の単位ベクトル。R1,R2,RはS1,S2,F,Gの位置ベクトルです 1. S1:R1=(ucosv)i+(usinv)j+uk [0<=u<=1/2,0<=v<=2π] S2:R2={(1-u)cosv}i+{(1-u)sinv}j+uk [1/2<=u<=1,0<=v<=2π] について (1)D(S1,S2に囲まれる領域)の表面をSとした、Sの外向き法線ベクトル 2. F:R=xi+yi+(3-x^2-y^2)k G:R=xi+yi+2(x^2+y^2)k (1)FとGの交線の円筒座標系(r,θ,z)における方程式を求めよ (2)D(FとGで囲まれた領域)の体積 2つ以上の位置ベクトルの問題を解いたことがなく、考え方などがわかりません^^; 次回に役立てたいので、計算の過程も出来ればお願いします 問題数が多いですが、何卒宜しくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 順列・数え上げ
よろしくお願いします。 ここに下のような390個の文字があります。 (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M がそれぞれ10個ずつ、 N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z がそれぞれ20個ずつあります。) この390個の文字から235文字を選んで一列に並べる方法は全部で何通りありますか。 A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z N O P Q R S T U V W X Y Z 以下、私が考えたことを書きます。 この390個の文字から235個の文字を選ぶ組み合わせの総数は、 (Σ[k=0~10]x^k)^13*(Σ[k=0~20]x^k)^13 を展開したときのx^235の係数ですから、 23463540513956137996043929988 通りだということは分かります。 この23463540513956137996043929988 通りのそれぞれについて235個の文字 の順列(同種のものを含む順列)を数え上げれば答えは出ると思いますが、これは あまりにも大変な作業です。 何かよい知恵はないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ |dx|=|cosθ -rsinθ||dr | |dy| |sinθ rcosθ||dθ| └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =|cosθ -rsinθ|= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r |sinθ rcosθ| のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0~2π]∫[0~R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ(笑)、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか? たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ |dx| |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ||du| |dy|=|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w||dv| |dz| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w||dw| └ ┘ └ ┘└ ┘ |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w| |J| =|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w| であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です。
3曲線C1:y=f(x)、C2:y=x^2、C3:(1/2)x^2のグラフが図のようになっている。曲線C2の上の点Pにおいて、y軸に平行な直線を引き、C3との交点をQ、Pにおいてx軸に平行な直線を引き、C1との交点をRとする。曲線C1、C2、線分PRの囲む図形の面積をS1、曲線C2、C3、線分PQの囲む図形の面積をS2とする。 (1)点Pの座標を(u,u^2)、点Rの座標を(v,f(v))とおいたとき、面積S1を定積分を含むuとvの式で表せ。 (2)点Pが曲線C2の上を動くとき、つねにS1=S2が成立する。このとき、関数f(x)を決定せよ。 (1)はS1=∫[0,v]f(x)dx+(2/3)u^3+vu^2になりました。 (2)でS2を計算するとS2=(1/6)u^3になってS1=S2で計算しましたがf(x)まで持っていけません。 詳しく解説していただけないでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数