多体問題について教えてください。

質問

多体問題というのは解けないと聞きましたが、質問が3つあります。

【質問】
(1)
多体問題というのは、『三体問題の内の例外的に解の形が知られている特殊解』以外の場合では、三体問題も含めて、絶対に解けないのでしょうか？

(2)
『三体問題の内の例外的に解の形が知られている特殊解』の場合のみ、引力のみしかない重力に関する問題では解く事ができるそうですが、
この、『三体問題の内の例外的に解の形が知られている特殊解』の場合においても、引力以外にも斥力もあるクーロン力の場合では、解けないのでしょうか？

(3)
シュレディンガー方程式も多体問題は解けないそうで、シュレディンガー方程式は、電子が１つの水素原子の場合のみ解けるそうですが、それでは、シュレディンガー方程式は、同じく電子が１つの、リチウム原子やナトリウム原子やカリウム原子の場合では、解けるのでしょうか？

（⇧）以上の3つの質問について、答えを教えてください。

回答No.1

lupin__X · ベストアンサー

まず (3) から
リチウム原子　 :原子核 1, 電子　3
ナトリウム原子 :原子核 1, 電子 11
カリウム原子　 :原子核 1, 電子 19
これらの原子で、電子が 1つでないことわかってますよね。
どうして、勝手に 1つで処理しようとするのですか。

ところで、質問者さんは、二体問題なら解けますよね。
重力の古典力学の問題も量子力学のシュレディンガー方程式も。
(ほぼ自力で解けるのか、解き方を見て理解できるのか)

一般の三体問題は、積分法によって求められない。
ということが、ポアンカレによって証明されてます。

ポアンカレの論文(1892年フランス語)
9https://archive.org/details/lesmthodesnouv001poin/page/18/mode/2up

しかし、三体問題の運動方程式の解の運動は、存在します。
多くは数値積分で近似します。特殊な条件の場合に限定したり。
特に解かれるのは制限三体問題で三体目が大きな二体の運動に
影響を及ぼさない小さな場合です。制限四体問題も三体目以降
小さな場合です。
ラグランジュは、三体問題の特殊解を示しました。
直線解3、正三角形解2 です。相対的な位置関係が変わらないの
はこれだけでしょうね。実際には、直線解は、少しでもズレると
ズレが大きくなる不安定解で、正三角形解は、少しズレても安定
で実在します。(太陽-木星-トロヤ群小惑星。)

実際の多体問題は、コンピュータによって軌道計算されます。
日食(ほぼ 太陽-地球-月 の三体問題)も100年程度なら正確に計算
されます。シューメーカー・レヴィ第9彗星の木星衝突も計算で
予言されました。

(2)斥力もあるクーロン力の場合の特殊解
重力の制限より厳しくなります。三体間すべて斥力は、遠ざかる
だけで、引力と斥力混在では、正三角形解すら成り立たないし。
相対的な位置関係が変わらない解はおそらくないでしょうし、
斥力が極端に小さい条件でないと解けるような周期解はないはず。

量子力学で扱う系を古典力学的な制限三体問題にもできません。
原子核1+電子2 では、二体目・三体目の質量・電荷は同じ電子、
斥力が強すぎて扱えません。
そもそも、量子力学では、位置関係・質量比を限定するような
制限三体問題は、ありえないに近い制限です。
波動関数も様々な近似理論を工夫して計算させるのが実情です。

お礼

御回答ありがとうございました。