物理学の問題ですが、問題の意味が分かりません。

質問

解き方を教えてください。

質量m の球を粘性のある媒質の中で静かにはなした．
球は，重力mg に加えて，v を球の速さ，b を定数として，
bv の阻止力を受ける．浮力は無視できるものとする．球の
運動に関する次の記述のうち正しいものはどれか．
(a) 運動エネルギーは阻止力のため減少し続ける．
(b) 運動エネルギーは増加して最大値に達し，その後に阻
止力を受けて0 となる．
(c) 速度は増加して最大値をとり，その後に減じて最終速
度に達する．
(d) 速度は単調に増加し，b のみで定まる最終速度に漸近
する．
(e) 速度は単調に増加し，b とmのみで定まる最終速度に
漸近する

回答No.3

noname#175206 · ベストアンサー

この問題は、「速度の変化は加速度でしょう？　加速度で考えてみましょう！」と言いたいわけです。で、そこも「それは問題を読んで察して欲しいです」と願っているようです。

　速度の変化が加速度ですね。数式ではよくaで書きますが、地表ではgと書いて9.8[m/s^2]を使います。質量mの玉の加速度をaとして考えて行きましょう。

　よく「軽いものも重いものも同じように落ちる」と言います。これは真空中のことなんですね。これだけの条件だと、地表で数式で書けば、

　a＝g

です。加速度は一定だから、時間をtとすれば、速度v＝at＝gt。

　重力はmgじゃないかという疑問があるかもしれません。その通りですが、これは物体にかかる力ですね。ニュートンの第一法則の有名な式、F＝maにあてはめると、重力もF＝mg。Fが同じなので、ma＝mgとなり、両辺をmで割って、a＝g。

　時間tが経つほどに、どんどん速くなるだけです。もちろん、「静かに放した」のだから、最初の速度は0からのスタートです。
　だから、t＝0のときは、v＝0になるよう、式を決めておきました。こういうのを初期条件と呼びます。式を決めるとき、必ず必要だったりします。

「粘性ある媒質の中」で離したわけですが、水中でもいいし、空気中でもいいです。空気中のほうが経験が多いでしょうね。

　うちわや扇子であおぐとき、速くあおぐほど力が要ります。これは、うちわや扇子が空気中を動くときに、空気抵抗を受けるんですが、速いほど、それが大きいということです。
　あるいは、風が強いほど、傘を持っているのに力を込めなければいけないのも同じです。
　空気中（水中でもいいです）を速く動くほど、空気抵抗（水の抵抗）も強くなる。それは、「風」（水流）が生じるからですね。だから、じっとしていても風（水流）が来ると、その向きに流されそうになる力を受けます。

　だから設問でも、bを何かの定数、vを速度として、その力FをF＝bvとしているわけです。これが力なことに注意です。

　これによる加速度だけを考えると、質量mで割ってやればいいわけです。bv/m＝(b/m)vです。vは変化するので、変化しないbとmはまとめておきました。

　これは、抵抗の力による加速度ですから、減速、つまいマイナスの加速度です。

　単純なa＝gに、どう組み合わせるかですが、単純な足し算です。これを「重ね合わせの原理」と称して、物理学の大事な考え方です。言葉を変えて言えば、物理学は足し算でOKなように考えて作られています。

　マイナスだから、要は引き算になり、

a＝g－(b/m)v

となります。これだけ眺めても、なんだか答えは見えません。そこで、v＝atが、このときにも成り立つことを使います。

a＝g－(b/m)at　∴a＋(b/m)at＝g　∴a(1－(b/m)t)＝g　∴a＝g/(1＋(b/m)t)

　t＝0のときは、a＝gです。速度v＝0からだと、最初の一瞬は空気や水があっても関係ないんですね。

　さらに時間tが経つにつれての加速度aの変化は、質量mが大きいほど分母の増え方が緩やかです。だから昔は「重いものほど速く落ちる」と思われていたわけです。

　しかし、いずれにせよ、時間tが経つほど、つまりtが大きくなるほど、aは減る一方で、それも0に近づいて行きます。決してマイナスにはなりません。

　速度の増え方が緩やかになっていき、ついには増えなくなる。つまり、ある最高速度があるということです。

　そしてtは、b/mとの掛算で分母にあります。これだけが加速度aの減り方に関係します。

　ようやく答えにたどり着きました。

>(e) 速度は単調に増加し，b とmのみで定まる最終速度に漸近する

が、最もここでやってみた考察を言い表しています。

>(d) 速度は単調に増加し，b のみで定まる最終速度に漸近する．

　ですと、せっかく求めたb/mのmが無視された感じです。

P.S.

　ここでは数式で考えてみました。勘では分かりにくいようにも思えます。

　しかし、直感的に考えて正解にたどり着くのは不可能ではありません。素直に普通に物の落ち方を見ていれば、「重いものほど速く落ちる」ことはあります。

　1枚のティッシュペーパーより500円硬貨1個のほうが速く落ちます（だから、よく無くして泣くんですが、まあ千円札のほうが遅いから^^;）。ガリレオが「重さと落ちる速さは無関係」と言ったのは、充分重いものについてでした。つまり空気抵抗を無視できれば、そうだということです。実際には空気があります。

　たとえば、パラシュートについて多少知っていたりすると、パラシュートを開けば、短時間で減速します。いきなりではありません。少し時間が経てば、一定の速度になり、安全に着地できます。
　しかし、体重が2倍違うと、軽い人では大丈夫なパラシュートも、重い人には安全ではありません。あるいは、一人用のパラシュートを二人で一緒に使うと危ない。一定の速度にはなっても、それが速すぎるからです。

　こうしたことから、「どうも、落ちても何か最終の最高速度があるけど、それは重いほど速そうだ」という直感を働かせることも可能です。そこに「速く動くほど風が強くなるしな」から「そういや、風が強いほど、傘持って踏ん張るのが大変だし」と思い当れば、言うことはないでしょう。そこへ「これって軽い子どもは大変だよな」まで考えられたら、もう定性的なことは数式要らないでしょうね。

お礼

例がとても分かりやすかったです。ありがとうございます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(e) でしょうね。

運動方程式を立てて解き、解の性質を
調べなさいという問題だと思います。

補足

dとeで迷っています。なぜeなのか教えてください。

回答No.1

fjnobu

加速度は無いので、速度が増加することはない。運動エネルギーも受け取ることが無いので、増加は無い。