高校物理、力学の問題

質問

燃料を含めた質量 m の人工衛星が、速さ Vo で運動している。
いま、燃料の燃焼でできた質量 μ のガスを、人工衛星に対して相対的な速さ v で
後方に瞬間的に噴射した。
噴射後の人工衛星の速さが Vo から ΔV だけ増加した。
ガスの噴射後、人工衛星の質量が μ だけ減少していることに注意すると
　v＝□ と求まる。

また、人工衛星の運動エネルギーとガスの運動エネルギーの和は
噴射前の運動エネルギーの和と比べて、□ だけ増加する。

こんにちは、高校物理の問題です。
自分で考えても、よく分かりませんでした。

詳しい解説があれば、勉強になります。
よろしくお願いします。

回答No.2

joggingman · ベストアンサー

運動エネルギーの変化（増加）は、
【ガス噴出後の衛星の運動エネルギー＋ガスの運動エネルギー】
－【噴射前の衛星の運動エネルギー】
＝(1/2)(m-μ)(V0+ΔV)^2+(1/2)μ(V0-v)^2 -(1/2)mV0^2
＝(1/2)(m-μ)(V0^2+2V0ΔV+ΔV^2)^2
＋(1/2)μ（V0^2-2V0*v+v^2)
－(1/2)mV0^2
＝(1/2)mV0^2+mV0ΔV+(1/2)mΔV^2
－(1/2)μV0^2-μV0ΔV-(1/2)μΔV^2
＋(1/2)μV0^2-μV0*v+(1/2)μv^2
－(1/2)mV0^2
=mV0ΔV+(1/2)mΔV^2－μV0ΔV-(1/2)μΔV^2
-μV0{(m-μ)/μ}ΔV＋(1/2)μ{(m-μ)/μ}^2ΔV^2
=(1/2)mΔV^2+(1/2)(m^2/μ)ΔV^2-mΔV^2
=(1/2)(m^2/μ)ΔV^2-(1/2)mΔV^2
=(1/2)m(ΔV)^2*(m/μ -1)
となります。

お礼

再びのご回答ありがとうございます。
お蔭様で理解できました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

joggingman

運動量保存の法則を使うと、
ガスの早さは静止座標からみるとV0-vだから、
mV0=(m-μ)(V0+ΔV)+μ(V0-v)
がなりたつので、これからｖを求めると、
v={(m-μ)/μ}ΔV

運動エネルギーの変化（増加）は、
(1/2)(m-μ)(V0+ΔV)^2+(1/2)μ(V0-v)^2 -(1/2)mV0^2
=(1/2)m(ΔV^2)(m/μ -1)
になります。

補足

早速のご回答ありがとうございます。

最後の

(1/2)(m-μ)(V0+ΔV)^2+(1/2)μ(V0-v)^2 -(1/2)mV0^2
=(1/2)m(ΔV^2)(m/μ -1)

この式の変形が、よく分かりません・・・