証明

質問

これを証明してください.お願いします.
n^3 が平方数⇒nも平方数である

回答No.2

178-tall

n は素数 (p, q, … z) の各自然数 (i, j, … m　>1 ) 乗の積に分解できるはず。
　n = p^(i)*q^(j) …*z^(m)　　　…(1)
n が平方数であるための条件は、{i, j, … m} が偶数であること。

n^3 は
　n^3 = p^(3i)*q^(3j) …*z^(3m)
になるが、これが平方数なら {3i, 3j, … 3m} の各数は偶数のはず。
ならば、{i, j, … m} が偶数なのだろう。
つまり、(1) に戻って n は平方数なのだろう。

回答No.1

noname#221368

なんか、いっぱい突っ込まれそうな気がするんですが(^^；)。単純な発想としてはこうですよね？。

　n^3が平方数という事は、何かの数ｍの2乗になってる訳ですよね？。

　　n^3＝ｍ^2　　　(1)

　(1)から、

　　n＝ｍ^(2/3)

になりますが、ｍが自然数だとすると、ｍ＝0，1の場合を除いて、「自然数ｍの2/3乗なんて、ふつうは絶対に自然数ｎにはなりません」。例外は、ｍがさらにｍ＝ｋ^αみたいになってて（ｋも自然数）、α×2/3が自然数になる場合です。そこで2と3の最小公倍数を探してみると6なので、試しにα＝3＝6/2とすれば、

　　n＝ｍ^(2/3)＝(ｋ^3)^(2/3)＝ｋ^(3×2/3)＝ｋ^(6/3)＝ｋ^2

となり、ｎは平方数です。

　詳細は、自分でやってみて下さい。「自然数ｍの2/3乗なんて、ふつうは絶対に自然数ｎにはなりません」の「なる／ならない」の場合分けが、多少面倒だとは思います。