大学物理について

質問

大学の物理で解けない問題があります。解説をよろしくおねがいします。

仕事率 P[W] のエンジンを持つ質量Mの自動車が静止状態から動き出した。水平面上で直線運動するとして以下の問いに答えよ。ただし、自動車には走行中、一定の抵抗力Rが作用するものとする。

(1) 速度が v であるとき、このエンジンによる推進力Fはどのように表わされるか。

(2) この自動車について成り立つ運動方程式をかけ。

(3) この自動車が到達しうる最大のスピード Vmax はどのように表わされるか。

(4) ある速度 V < Vmax に達するのに要する時間Tはどのように表わされるか。そして、T を V の関数として表わせ。

(5) M = 1000kg , P = 100 H.P.( ここで、1 H.P. = 75 kgw・m/s = 75 x 9.8 = 735 W ) のとき、Vmax = 200 km/h であったという。　抵抗力Rは何kgw か。また、Tm = {2M (Vmax)^2}/P で Vmax の95% の速度に到達できるという。　Tm は何秒か。

問題数が多いですが、よろしくお願いします。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

こんばんは。
この問題は、まず、出力；Ｐと推進力；Ｆの関係を知らないとどうにもならないでしょう。
この２つには、Ｐ＝Ｆ・ｖ　なる関係があるんです。（ここでのＰは「瞬間値」です）
そこで、
(1)一定速ｖで走行中→Ｒ＝Ｆ＝Ｐ／ｖが成立しています。
この状態から、Ｐの値を上げると、Ｒ＜Ｆとなって、加速状態になります。したがって、運動方程式は
(2)Ｍｖ’＝Ｆ－Ｒ＝Ｐ／ｖ－Ｒ
となりますね。（’は時間微分）
ここで、Ｐを「この車の出せる出力最大値（定数）」として、ｖ＝０からの最大加速を考えます。
すると、(2)式は、ｖ＝０が、ｖ’＝∞となる、言わば「特異点」であることを示していますが、多少ともｖが発生すると、ｖ’は有限値になり、更にｖが増加するにつれ、ｖ’は減少し、
Ｐ／ｖ＝Ｒとなったところで、ｖ’＝０、つまり”もう加速できない”状態になることが解ります。
(3)このｖ、すなわちＰ／Ｒが「ｖの理論限界値」です。Ｖｍａｘというのは、この値なんだろうと思われるのですが、実は、次の(4)に示されるように、この値は「漸近値」であり、”限りなく近づくけれど到達できない値”なので、(3)の題意に沿うかどうかは、判りません。
(4)は(2)で示された微分方程式を実際に解いてみよ、というわけで、これは一度御自分で解かれることをお勧めしますが、結果は、
Ｔ＝－Ｍ（ｖ／Ｒ＋Ｐ／Ｒ＾２・ｌｎ（１－Ｒｖ／Ｐ））
となります。一見、負値のように見えますが、正値です。
（ｌｎの真数が１より小さいことに注意！）
実際にグラフを描いてみれば良くわかるでしょうが、ｖ→ＶｍａｘはＴ＝∞に匹敵しています。

ということで、(5)は、ここまでの結果を参考に、値を入れていってみてください。

お礼

回答ありがとうございます！！

(2)の微分方程式についてですが、vもv'も分子にあれば溶けるのですが、vが分母にきているパターンはまだといた経験がありません・・・。
解き方のヒントだけでもいただけないでしょうか？　

よろしくお願いします。

回答No.2

superkamecha

ＡＮｏ．１です。　さて、（２）の解き方ですか。
パズルは自分で解かないと面白くないものですよ。

まぁ、手順は、通分→変数変換、、です。
（Ｐ－Ｒｖ⇒ｕ　とか）

お礼

ありがとうございます！（解けました。