物理I x-tグラフと関数について

質問

お世話になっております。いつも質問ばかりですいません。

数学で、空気抵抗を無視出来るとして物体を初速度V0m/sで鉛直投げ上げすると、その物体の質量に依らず、t秒後の高さhは、tの関数として、
h=V0t-4.9t^2[m]…(1)

で表わされる事を知りました。今、物理Iでちょうど速度について学んでおるところですが、x-tグラフと関数(1)はh=xとすれば座標平面に二次関数としてグラフを描くことは出来るのでしょうか？

また、このときに任意のtで関数(1)を微分すれば、t秒の時の速度が求まる、という事になるのでしょうか。

何卒宜しくお願い致します。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

おっしゃる通りだと思います。

投げあげ時の高さをゼロとして、時間ｔ後の高さは
ｈ＝ｖ０ｔ－ｇｔ＾２／２
　＝－ｇ／２（ｔ－（ｖ０／ｇ））＾２＋ｖ０＾２／２ｇ　・・・（２）
と表わされる（ｇは重力加速度≒９．８ｍ／ｓｅｃ＾２）ので、ｔを横軸、ｈを縦軸としてグラフ化すると、
頂点が（ｖ０／ｇ、ｖ０＾２／２ｇ）　である上に凸の放物線になります。

また、（１）の式をｔで微分すると
ｄｈ／ｄｔ＝ｖ０－ｇｔ
となり、速度と時間の関係式になります。速度がゼロになる時間は
ｖ０＝ｇｔ　より　ｔ＝ｖ０／ｇ
となり、上記の放物線の頂点に対応することが判ります。

また、速度ゼロの時点で（２）の式は
ｈ＝ｖ０＾２／２ｇ
となりますが、ここから
ｇｈ＝ｖ０＾２／２
両辺に物体の質量ｍを掛けて
ｍｇｈ＝ｍｖ０＾２／２
という、エネルギー保存則の式が導かれます。
左辺は基準点からｈの高さにある物体が重力存在下で持つ位置エネルギー、右辺は速度ｖ０の物体（質量ｍ）がもつ運動エネルギーを表わしています。

お礼

secは正割ですか。まだそこまでいけてませんが、もやもやが晴れて安心しました。加えて、式導出の過程を知れて感動しました。U(位置)=Kの導出は想像すら出来ませんでした。しかし、機械的に理解してた微積と日常の自然現象がここまで見事に結び付くと年甲斐もなく楽しくなります。
ご回答感謝します。ありがとうございました。