剛体力学について。

質問

以下の問題が解けません。解説をよろしくお願いします。

r1,r2:原点から見た質点m1,m2の位置ベクトル。
r'1,r'2:重心から見た質点m1,m2の位置ベクトル。

|r1-r2| = L とする。

(1)この２つの質点よりなる質点系が剛体である条件は？

(2)この剛体が微小時間 dt の間に動き、m1 は dr1 移動、m2 は dr2 移動したとする。dr1≠dr2のとき、剛体条件は(r1-r2)⊥(dr1-dr2)であることを示せ。（ヒント：(r1 - r2)・(r1 - r2) = L^2 の両辺を微分してみる。）

重心の座標:R=(m1r1 + m2r2)/(m1 + m2) だから、重心の微小並進運動は、dR=(m1dr1 + m2dr2)/(m1 + m2) となる。
剛体の運動は一般に、重心の平行移動＋重心についての回転運動　で表せる。
ということは、今回 dr'1 = dr1 - dR, dr'2 = dr2 - dR が、重心についての微小回転を表しているはずである。これを示しに行く。

(3)重心についての微小変位 dr'1,dr'2 を、dr1,dr2 で表現するとどのようになるか？

(4)dr'1,dr'2が重心についての回転であるということは、

　dr'1 ⊥ (r1 - r2)
dr'2 ⊥ (r1 - r2)
dr'1/r'1 = -dr'2/r'2

　これらを示せばよいことになる。これらを示せ。

問題が長いですが、よろしくお願いします。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

こんばんは。　なかなか回答がつかないようなので、、、直感的に分かる最初のほうだけね。

まず、ベクトル；　ｒ１－ｒ２　がｍ２からｍ１に向かうベクトルであることは理解してますよね？
なので、その絶対値は「ｍ１とｍ２の相対距離」ですね。
で、この２質点が「剛体系」；つまり相対距離が変化しない、というのですから、それを式で表すと
｜ｒ１－ｒ２｜＝Ｌ＝一定　これが条件です。（１）

次に、（２）は、ヒントを使いましょうか。ヒントに書かれている式は「自分自身の内積」なので、当然こうなるという式ですが、これを微分するというのは、左辺；（ｒ１－ｒ２）＾２を微分するわけですから、
２・（ｒ１－ｒ２）・（ｄｒ１－ｄｒ２）になりますね。対して、右辺は定数ですから、微分すればゼロ。
従って、（ｒ１－ｒ２）と（ｄｒ１－ｄｒ２）との内積がゼロ→直交　ですね。

（３）以降は、まぁ、１８０度点対称のような相似（直角）三角形を絵に描いてみれば解るんじゃないかな？
もう夜もおそいので、、、ごめんね。

お礼

回答ありがとうございます。なんとか最後まで解けました。