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剛体の並進と回転
鉄アレイのような形をした剛体の運動を考えます。 同じ重さの２つの小球があります。（●：質量m） そのうちの１つが2vでやってきて重さの無い棒にくっつきます。 ←● ｜ ● ● ｜ ● この棒でつながった鉄アレイのような形の物体が無重力状態の中でどのような並進運動と回転運動をするのかを求めます。 m：１つの小球の重さ r：棒の長さ 2v：飛んでくる小球の速さ rが0の時は合体後の物体の速さをv'とすると (2m)*v'=m*(2v) からv'=vの速さで合体物が並進運動するとわかりました。 しかしr≠0の時の式に自信がありません。 並進の式：(2m)*v'=m*(2v) 回転の式：Iw=r*m*(2v) 角速度をw、慣性モーメントをIとしました。 で考えましたが、これだとI=2m*r^2から w=v/r よって角速度v/rを持ちながら並進でvの速さを持ちながら重心移動する、といったんは結論を出しました。 しかし、これだとr=0の時の完全非弾性衝突の場合と比べ、 回転のエネルギーの分だけエネルギーが増していると思うのです。 衝突する場所が違うだけでエネルギーが増すので間違っていると思うのです。 運動量全部が並進運動に変わるとしておきながら、回転運動も起こると考えている所が間違っているのかな と考えているのですが正しい解き方はどうやるのかもわかりません。 よろしくお願いいたします。
- no_smoking_pool
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>これだとr=0の時の完全非弾性衝突の場合と比べ、 >回転のエネルギーの分だけエネルギーが増していると思うのです。 これであっているとおもいますよ（エネルギーが増えているわけではありませんが）。 慣性中心が静止するような座標系（２つの質点が左右から速度vで衝突する）で見てみると分かりやすいと思います。 ←● ｜ ●→ r=0のときには静止し、r≠0のときにはその場で回転しますね。 ここで考えているのは（完全）非弾性衝突ですので、 衝突前に持っていたのエネルギーは内部エネルギーの増加に使われるわけですが、 r=0の場合には熱エネルギーに、 r≠0の場合には回転エネルギーになります。
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- threetree
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すいません、ＮＯ．１です。質問の意図を読み違えていました。しかも回答が間違えてます（汗）お二人とも分かってらっしゃるようですが、質問を閲覧する方もいると思いますので、訂正しておきます。外力の働かない質点ｎ個の全体の運動エネルギーＡは、全ての質点の質量を合計した質量を持つ粒子が重心の速度で運動する時の運動エネルギーＢと重心に一致する慣性系からみた時に全ての質点が持つエネルギーＣの和でした。つまり、Ａ＝Ｂ＋Ｃでした。 岩波書店の物理入門コース１「力学」戸田盛和著のｐ１５５の運動エネルギーがソースです。 失礼しました。
お礼
岩波書店の物理入門コース１「力学」戸田盛和著を見ながらちょうど考えてるとこでした。 ｐ１８０の玉突きの問題がわかりにくかったので簡易な問題から考えようとしてこの問題を考えてました。 ありがとうございました。
- o_pato
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No.2です。 >（完全）非弾性衝突だとエネルギーは保存しないと思っていました。 >しかし内部エネルギーを考えたらどんな場合でもエネルギーは保存している、で合ってますでしょうか？ その通りです。 以下のように考えてみると、理解の助けになるかもしれなせん。 下図のようにバネに向かって左右から●が飛んでくるとします。 ●→ －(バネ)－ ←● ●－(バネ)－● この場合、衝突後はバネにつながれて振動して、エネルギーは保存していますね。 全運動量も、回転エネルギーも持っていないけれど、エネルギーは持っています。 内部エネルギーというのはこんな感じのものです。 イメージとしては、このように物体を構成している原子分子が、 「バネのようなもの」でつながれて振動しているような感じです。 内部エネルギーが大きい（温度が高い）というのは、 より振動が激しいということになります。 ですから、一般に非弾性衝突は、物体の温度の上昇や変形を伴います。
お礼
理解の助けになりました。 わかりやすい解説を２度もしていただきありがとうございました。
- threetree
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面白い実験ですね。エネルギーについて考えたときおかしくなるのは、重心の運動エネルギーに重心から見た回転のエネルギーを足しているからだと思います。回転しながら運動する物体を外から見た時には、一方の粒子は速度が重心の速度より増して、もう一方の粒子は重心の速度よりも遅くなるので、単純な和では表せないようです。 アレイ型の物体の上端の球に２ｍｖの力積を与えることを考えてみたのですが、棒の長さを２ｒとすればおっしゃる通り、重心はｍｖで動き、角速度v/rで動くようです。どんな動きか想像が難しいですが、二つの質点を直径とする円を考えると、その円が円の通過する領域の下端に対し滑らずに動くようです。つまり、二粒子はサイクロイドを描くようです。 ちょっと日本語がおかしいような気がします、こんな回答でいかがですか？
お礼
>棒の長さを２ｒとすれば 間違えてました。ｒと書きましたがたしかに２ｒとすると重心はｍｖで動き、角速度v/rで動くようです。 サイクロイド曲線を描く事も理解できました。 ありがとうございます。
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補足
（完全）非弾性衝突だとエネルギーは保存しないと思っていました。 しかし内部エネルギーを考えたらどんな場合でもエネルギーは保存している、で合ってますでしょうか？