三重積分の体積の求め方

質問

x=(2+cosφ)×cosθ
y=(2+cosφ)×sinθ
z=sinφ
のパラメータが与えられている時の体積の求め方を教えてください。（θ,φの範囲は共に0から２πです。）

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

体積をVとすると上半分だけ求めて2倍すれば言いから

V/2=∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz
-∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz

ここでdz=cos(φ)・dφと置換積分すると

V/2=∫(φ：0～π/2)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ
-∫(φ:π～π/2)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ
=∫(0<φ<π)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ

すなわち
V=2・∫(0<φ<π)・π・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ

補足

>>V/2=∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz
-∫(0<z<1)・π・(2+cos(φ))^2・dz
最初にあったこの式なんですが、なぜdzの式だけで表せるんですか？どうやって式をだしたのかわからないので、説明できるようならお願いします。
あとこの式を解くと０になっちゃいませんか？

回答No.3

keyguy

若干式が不正確でしたね。素直に計算しましょう。

体積は
∫(φ:0→2・π)・π・(2+cos(φ))^2・(cos(φ)・dφ)
=π・∫(0<φ<2・π)・(2+cos(φ))^2・cos(φ)・dφ
です。
No.2にあるように図形をイメージしてください。
半径(2+cos(φ))の円をz方向に積分したらいいのです。
微小高さの円盤を積分していくのです。
その高さはdz=cos(φ)・dφですね？
上の積分は内部を自動的にくりぬいてくれるので都合がいいのです。

お礼

どうも何度もありがとうございました。理解できました。

回答No.2

ryn

この立体は z = sinφ では半径 2 + cosφ の円を描きます。
そのことから、この立体は z > 0 で
茶碗を伏せたような形をしていることがわかります。

keyguy さんの最初の式は半径 2 + cosφ の円の面積
　π・(2+cos(φ))^2
を 0≦z≦1 で積分しています。

お礼

ありがとうございました～。理解できました。