判別式

質問

xについての方程式x^2-2px+p+2=0の全ての解の実部が負となるような実数pの範囲を求めよ

どうやって求めるのか教えてください

回答No.11

ferien · ベストアンサー

ANo.10です。

＞同時に成り立つときは共通部分が、成り立たないときは全てを合わせた部分が範囲ってことですか？
そうです。

お礼

わかりました
本当に長い間ありがとうございました

回答No.10

ferien

ANo.9です。

＞「虚数解の実部が負」から、－１＜ｐ＜０
＞「実数解の２解が負」から、－２＜ｐ≦－１
これらは、同時には成り立たないこと（判別式Ｄ＜０の場合とＤ≧０の場合）なので、共通部分ではなく、両方を足したものとして考えます。
この場合は、数直線上で重ならなくてもいいのです。
「－１＜ｐ＜０　または、－２＜ｐ≦－１」と言う意味なので、これを答えにしてもいいし、
両方を合わせて、－２＜ｐ＜０　として表してもどちらでもいいです。

補足

同時に成り立つときは共通部分が、成り立たないときは全てを合わせた部分が範囲ってことですか？

回答No.9

ferien

ANo.8です。

＞数直線に書くとｐ＜０，ｐ＞－２が－２＜ｐ＜０になるのですが同じということでいいですか？
答えは、３本重なるところで、－２＜ｐ≦－１です。
もう一度確認してみて下さい。
２≦ｐは、解なしというのではなくて、今求めている共通範囲には入らないと言うことです。

｛もう一つの共通範囲－１＜ｐ＜０と合わせて、－２＜ｐ＜０になります。」
両方を合わせて数直線に描いてみると、答えの通りになるのが分かります。

補足

全て重なるところが答えということでしょうか？
だとしたら－２＜ｐ≦－１と－１＜ｐ＜０は重なるところがないんですが…

回答No.8

ferien

ANo.7です。

＞ｐ≦－１，２≦ｐ　……（３）
＞ｐ＜０，ｐ＞－２　……（４）
＞これを合わせる方法を教えてください
数直線に書き込んで考えて下さい。
直線を引いて、その上に－２，－１，０，２だけ目盛りをとればいいです。
不等号に＝がつくときは、その値も含めます。
ｐ≦－１，ｐ＜０は左方向に矢印、それ以外は右方向に矢印で書き込みます。
線の重なりの数が一番多いところが、共通の範囲です。
（描き方は何か調べればあると思います。試してみて下さい。）

お礼

数直線に書いてみたら2≦ｐと重なるものがなく解無しになったのですがどういうことでしょうか？

補足

数直線に書くとｐ＜０，ｐ＞－２が－２＜ｐ＜０になるのですが同じということでいいですか？

回答No.7

ferien

ANo.6です。

＞Ｄ＜０のとき
＞√Ｄ＝√(－Ｄ)iということですか？
そうです。数字を当てはめて考えれば分かります。
√－３＝√３ｉのように表します。３＝－（－３）です。

お礼

わかりました
何度もありがとうございました！

補足

本当にすみません
これが最後の質問だと思います
初歩的で申し訳ないのですが、
ｐ≦－１，２≦ｐ　……（３）
ｐ＜０，ｐ＞－２　……（４）
これを合わせる方法を教えてください

回答No.6

ferien

ＡNo.5です。

＞解はｘ＝｛２ｐ±√（４ｐ^２－４ｐ＋８）｝／２ですよね
＞この判別式はＤ＝４ｐ^２－４ｐ＋８で、－Ｄは－４ｐ^２＋４ｐ－８でＤ≠－Ｄです
＞なのに
判別式Ｄは、きちんと書けばその形ですが、今関係あるのはＤの符号だけだったので、
省略しました。

Ｄの符号を問題にする理由は、
実数を表す場合は、√　の中身は、必ずＤ≧０でなければならないからです。
今の場合は、Ｄ＜０なので、√Ｄは、実数ではありません。だから、虚数解ということになります。
このままの形でもいいのですが、虚数単位を付けて分かりやすくするために、√（－Ｄ）iと
表してみました。

－Ｄ＞０なので、√（－Ｄ）は実数です。それにｉを付けて、√（－Ｄ）iとして虚部を表します。
複素数＝（実数）＋（実数）ｉ　のように実数の組で表され、ｉがある方が虚部、ない方が実部です。

平方根（√ａ）についても、参考書などで調べてみて下さい。
ａ≧０のとき、√ａは実数、ａ＜０のときは、実数の範囲では、定義されません。
ａ＜０でも、複素数の範囲では、虚数単位を付けて表すことができます。

補足

Ｄ＜０のとき
√Ｄ＝√(－Ｄ)iということですか？

物わかりが悪くてすみません

回答No.5

ferien

ANo.4です。　補足について

＞解は、ｘ＝｛２ｐ±√（－Ｄ）ｉ｝／２　だから、
＞実部が負より、２ｐ＜０から、ｐ＜０
＞という部分で、－Ｄとなるのは何故ですか？また、実部が負だと何故２ｐ＜０なのですか？

この場合は、虚数解をもつので、判別式Ｄ＜０です。だから、－Ｄ＞０
例えば、
√－３＝√３ｉと表しますが、この場合の－３＝Ｄ＜０，３＝－Ｄ＞０と置き変えて
考えてもらえればいいと思います。だから、√Ｄ＝√（－Ｄ）ｉと表してみました。

例えば、複素数２＋√３ｉでは、実部は２，虚部は√３です。
この問題では、２ｐ±√（－Ｄ）ｉの　実部は２ｐ，虚部は±√（－Ｄ）と考えます。
だから、「実部が負」と言うときは、２ｐだけが負になります。

実数ａは、複素数として表すとａ＋０・iです。実部がａ，虚部が０と考えれば、
「実数解の２解が負」と言うのも、「実部が負」の場合に含まれています。

「複素数」の詳しいことについては、参考書などで調べてみて下さい。

補足

解はｘ＝｛２ｐ±√（４ｐ^２－４ｐ＋８）｝／２ですよね
この判別式はＤ＝４ｐ^２－４ｐ＋８で、－Ｄは－４ｐ^２＋４ｐ－８でＤ≠－Ｄです
なのに
ｘ＝｛２ｐ±√（４ｐ^２－４ｐ＋８）｝／２
ｘ＝｛２ｐ±√（－Ｄ）ｉ｝／２
というのはどういうことですか？

回答No.4

ferien

ANo.2です。補足について

＞判別式Ｄ≧０かつ２解Ａ、ＢがＡ＜０，Ｂ＜０って
＞虚数解の実部は一切考慮してないんですが、いいんですか？
わかりにくい書き方で済みません。
虚数解の実部についての説明は、求める範囲［１］の上の部分です。
これと、後半の「判別式Ｄ≧０かつ２解Ａ、ＢがＡ＜０，Ｂ＜０」の説明を合わせて、
求める範囲［２］の説明になります。

「虚数解の実部が負」から、－１＜ｐ＜０
「実数解の２解が負」から、－２＜ｐ≦－１
より、合わせて－２＜ｐ＜０です。

補足

私も理解できずすみません

解は、ｘ＝｛２ｐ±√（－Ｄ）ｉ｝／２　だから、
実部が負より、２ｐ＜０から、ｐ＜０

という部分で、－Ｄとなるのは何故ですか？また、実部が負だと何故２ｐ＜０なのですか？

回答No.3

NemurinekoNya

No.1です。
これ、重根もありなんですね。「解は二つだ」と思い込んでしまっていました。
なので正しくは、

No.1の（２）は
（２）-p^2+p+2 ≦ 0 （判別式Dと同じです）
　p≦-1、p≧2

になるので、
-2 ＜ p ≦ -1
が答えになるのかな。

でも、
ferienさんと答が違う。
なんか悪い予感が。。。。

お礼

訂正ありがとうございました
ただ、No.1のお礼にも書いたように答えは-2＜p＜0でした

回答No.2

ferien

＞xについての方程式x^2-2px+p+2=0の全ての解の実部が負となるような実数pの範囲を求めよ

実部を　虚数解の実部と考えれば、
虚数解をもつから、判別式Ｄ＝４ｐ^2－４×１×（ｐ＋２）＜０より、
ｐ^2－ｐ－２＝（ｐ－２）（ｐ＋１）＜０
よって、－１＜ｐ＜２　……（１）
解は、ｘ＝｛２ｐ±√（－Ｄ）ｉ｝／２　だから、
実部が負より、２ｐ＜０から、ｐ＜０　……（２）
よって、（１）（２）の共通部分は、
－１＜ｐ＜０　……　求める範囲［１］

実部を、虚数解の実部＋実数解で２解とも負の場合　と考えると、
実数解を持つ条件　判別式Ｄ≧０より、ｐ≦－１，２≦ｐ　……（３）
２解をＡ＜０，Ｂ＜０とすると、解と係数の関係より
Ａ＋Ｂ＝２ｐ＜０　ＡＢ＝ｐ＋２＞０
よって、ｐ＜０，ｐ＞－２　……（４）
（３）（４）の共通部分は、
－２＜ｐ≦－１
－１＜ｐ＜０　または、－２＜ｐ≦－１だから、
合わせて　－２＜ｐ＜０　……求める範囲［２］

２通り考えてみたのですが、どちらでしょうか？
（答えはどうなっていますか？）

お礼

二通りというのは[１]と[２]ですね
[２]が正解でした
ありがとうございました

補足

判別式Ｄ≧０かつ２解Ａ、ＢがＡ＜０，Ｂ＜０って虚数解の実部は一切考慮してないんですが、いいんですか？

回答No.1

NemurinekoNya

f(x) = x^2-2px+p+2とおく。
f(x) = (x-p)^2-p^2+p+2
二次関数f(x) = 0を満たす全ての解が負であるのは、（１）、（２)、（３）の条件を満たすとき。
（１）p < 0
（２）-p^2+p+2 < 0
　　p^2 - p -2 = (p+1)(p-2) > 0
　　p < -1, p > 2
（３）f(0) = p+2 > 0
　　p > -2
なので、
-2 < p < -1
かな。

条件（１）、（２）、（３）は、二次関数f(x) = (x-p)^2-p^2+p+2のを書けば、なぜ、こうなるのか、分かります。

間違えてたら、どうしよう、オロオロ。

お礼

すみません、答えは-2＜p＜0でした
回答ありがとうございました