積分計算の工夫が知りたいです

質問

統計の分散を求める公式で

var(x)=∫(x-μ)^2*f(x)dx

という式がありますが、
単純計算する以外に何か工夫できることはないでしょうか。

課題で出ているのですが、あまりに範囲やf(x)の係数の数値が細かいので
スマートに解ける方法があったら知りたいです。

var(x)=∫(x-μ)^2*(αx^2+βx+γ)dx (δ≦x≦θ)というかたちです。
置換積分で解けるかと思ったのですが無理でした。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

(x-μ)^2 = x^2 - 2μx + μ^2
の右辺に f(x) を掛けて積分してみよう. 「x f(x) の積分」が出てきませんか?

お礼

∫x^2*f(x)dx-2μ^2+∫μ^2*f(x)dx
になるということで大丈夫でしょうか

この式だととても計算が楽になりますね^▽^
(思い違いだったらすみません;)
目からウロコで感動しました！

ありがとうございます。

補足

本当はお二方ともベストアンサーに選びたいところなのですが、
今回は先にご回答して下さった方にしたいと思います。

本当にお二方ともありがとうございました！
課題進められそうです(*´ω｀*)

回答No.4

MagicianKuma

統計の世界の話ですから、f(x)は確率密度関数ですよね。ですから、∫f(x)dx=1はf(x)の満たす条件です。

お礼

そうでした！
もっと勉強したことを定着させたいものですね。
ありがとうございます。

回答No.3

MagicianKuma

もう一歩進めば完璧！
var(x)=∫x^2*f(x)dx-2μ^2+∫μ^2*f(x)dx
=∫x^2*f(x)dx-2μ^2+μ^2*∫f(x)dx
=∫x^2*f(x)dx-2μ^2+μ^2
=∫x^2*f(x)dx-μ^2

よく知られた式　var(x)=E((x-μ)^2)=E(x^2)-μ^2 になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
まだ工夫があったんですね！

=∫x^2*f(x)dx-2μ^2+μ^2*∫f(x)dx
=∫x^2*f(x)dx-2μ^2+μ^2

で∫f(x)dxがなくなる(=1になる)ところがよくわからなかったので、
もしよろしければ教えていただけないでしょうか＞＜

回答No.1

Tacosan

「統計」で「分散を求める公式」だから f(x) は確率密度関数でないとおかしいし, μ も f(x) を使って表すことができますよね. ということは, ばらしていじるとちょっとは簡単かも.

お礼

ご回答ありがとうございます。

μ=∫xf(x)dxを組み込んでみると更に複雑になってしまうように感じていうのですが
いい方法があるのでしょうか…