極限値=0となる証明が簡単そうで出来ません

質問

t,s∈Cで0＜xの時,
lim_{t→s}∫_1^∞exp(-ux)|u^t-u^s|du=0が一見簡単そうでなかなか示せません。
図で見れば一目瞭然なのに(曲線がu軸にどんどん近づいていくので),
lim_{t→s}∫_1^∞exp(-ux)|u^t-u^s|du=∫_1^∞lim_{t→s}exp(-ux)|u^t-u^s|duと変形できる理由も分からないので困っております。
どうすれば証明できましょうか?

回答No.3

muturajcp

再訂正します
s∈C
0<x
n=2+[4|s|],([4|s|]は4|s|の整数部)
とすると
∀ε>0に対して
∃δ=min(εmin(1,x^{n+2}/(n+2)!),1)
∀t∈C,|t-s|<δ
|t|<|s|+δ
|t-s|≦|t|+|s|<2|s|+δ<2|s|+1
1≦uのとき
0≦θ≦1があって
|u^t-u^s|
=|e^{tlogu}-e^{slogu}|
=|(t-s)(logu)u^{s+(t-s)θ}|
≦u^{|t-s|+|s|+1}
≦u^{|t|+|s|+|s|+1}
≦u^{3|s|+2}
≦u^{2+[4|s|]}
≦|t-s|u^n
だから
∀K>1に対して
x>0,u≧1>0だから
e^{ux}≧[(ux)^{n+2}]/(n+2)!
e^{-ux}≦(n+2)!/(ux)^{n+2}
e^{-ux}(u^n)≦[(n+2)!/x^{n+2}](1/u^2)
だから
∫_{1～K}e^{-ux}|u^t-u^s|du
≦∫_{1～K}(e^{-ux}|t-s|(u^n)du
≦|t-s|∫_{1～K}{(n+2)!/(x^{n+2})}(1/u^2)du
≦|t-s|(n+2)!/(x^{n+2})
≦δ(n+2)!/(x^{n+2})
≦ε
∴
lim_{t→s}∫_{1～∞}e^{-ux}|u^t-u^s|du=0