一次変換の問題です

質問

点（2 ３）を点（－２ １）を中心としてーπ/３回転して得られる点を求めよ

中心が原点じゃない場合どうやって求めるんですか？＞＜

回答No.7

Tacosan

余談ですが, この変換そのものは「一次変換」ではないです.

アフィン変換だけど.

回答No.6

noname#157574

これを忘れていました。
よって求める点の座標は(√3，2－2√3)……(正答)

回答No.5

noname#157574

新課程では行列は複素数平面に取って代わります。ここでは複素数平面を用いた解法を紹介いたします。
まず回転の中心が原点になるように点（2，3）を平行移動させると
x座標は2－(－2)＝4，ｙ座標は3－1＝2であるから－π/3回転させると
(4＋2i)(cos(－π/3)＋i sin(－π/3))＝(4＋2i)((1/2)－(√3/2)i)＝(2＋i)(1－√3i)＝(2＋√3)＋(1－2√3)i
元に戻すと(2＋√3)＋(1－2√3)i＋(－2＋i)＝√3＋(2－2√3)i……(答)
詳しくは新課程用の数学IIIの教科書をご覧ください。

回答No.4

info22_

一次変換を３つの１次変換に分解して考えます。
添付図のように
平行移動(2,-1)→回転移動(-π/3[rad])→平行移動(-2,1)
と分解して考えると良いでしょう。

先ず
[手順1]
原点のまわりの回転にするための平行移動
平行移動量は回転の中心点B(-2,1)を原点O(0,0)まで平行移動するための移動量(2,-1)

点A(2,3)を(2,-1)だけ平行移動すると
一次変換は
X=x+2, Y=x-1
(x,y)=(2,-1)とすると(X,Y)=(4,2)
つまり
点A(2,3)は点C(4,2)に移ります。

[手順2]
次に点C(4,2)を-π/3だけ回転移動（時計回りにπ/3回転）します。
このための一次変換は
　X=xcos(π/3)+ysin(π/3)=x/2 +y√3/2
　Y=-xsin(π/3)+ycos(π/3)=-x√3/2 +y/2
(x,y)=(4,2)を代入すると
　X=2+√3, Y=1-2√3
つまり
点C(4,2)は点D(2+√3,1-2√3)に移ります。

[手順3]
回転の中心を原点O(0,0)から点B(-2,1)に戻す為の平行移動
このため点D(2+√3,1-2√3)を平行移動量(-2,1)だけ平行移動します。

この為の一次変換は
　X=x-2, Y=y+1
(x,y)=(2+√3,1-2√3)を代入すると (X,Y)=(√3,2-2√3)
移動後の点をEとすると E(√3,2-2√3)

以上から
点A(2,3）を点B(-2,1）を中心として「-π/3」回転して得られる点は
上の点E(√3,2-2√3)となります。

回答No.3

B-juggler

相変わらず、的確一言！！　Ｎｏ．１さんはさすが＾＾；

元代数学の非常勤です。

こういうのはとりあえず絵に書いてみる。

　＃この頃の子はよくサボるねぇ～、学校でやらんのかいな？？

回転させる前に、原点の位置をずらす変換をすればいいだけ！

ちょっと下に絵をつけます。計算は自分でね。

まぁ、ベクトルさえ分かれば、普通に原点中心に回転させた後でも、ベクトル足せばいいし。

先にベクトル足して、（－２，１）を中心に回してもいいし。

前述の方が簡単だろうけど。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.2

good-hakofugu

点(-2,1)を原点として扱えばいいのです。元の座標系をAとしたら、

点(-2,1)を原点(0,0)移動させてやると、点(2,3)は点(2+2,3-1)=(4,2)になります。

この移動させた座標系を座標系Bとします。

回転の公式は忘れてしまいましたが、この点(4,2)で原点を中心とした場合の

回転後の座標を求めます。そして、これを座標系Aに戻してやると答えがでます。

補足

もとの座標系Aに戻すには、

座標系Bにおける、回転後の点を点(x,y)とすると、

二行目でやった操作( 点(2+2,3-1)=(4,2) のとこ )の逆戻りで、

点(x-2,y+1)で座標系Aに戻ります。

回答No.1

Tacosan

中心を原点にする.