大学数学 n次関数

質問

次のn次導関数を求めて下さい。

xsin（2x）sin（x）

宜しくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

y=xsin(2x)sin(x)
三角関数の関和公式より
y=(1/2)x{cos(x)-cos(3x)}x
=(1/2)xcos(x)-(1/2)xcos(3x)
y'=(1/2)cos(x)-(x/2)sin(x)-(1/2)cos(3x)+3(x/2)sin(3x)
y''=-sin(x)-(x/2)cos(x)+3sin(3x)+(3^2)(x/2)cos(3x)
y'''=y^(3)
=-(3/2)cos(x)+(x/2)sin(x)+(1/2)(3^3)cos(3x)-(3^3)(x/2)sin(3x)
y^(4)
=2sin(x)+(x/2)cos(x)-2(3^3)sin(3x)-(3^4)(x/2)cos(3x)
y^(5)
=(5/2)cos(x)-(x/2)sin(x)-(5/2)(3^4)cos(3x)+(3^5)(x/2)sin(3x)
y^(6)
=-3sin(x)-(x/2)cos(x)+3(3^5)sin(3x)+(3^6)(x/2)cos(3x)
...

n=2m-1,2mの時で場合分けて
以上の導関数の係数の規則性を見つければ良いでしょう。

y^(2m)の場合なら
y^(2m)
=(-1)^m*{msin(x)+(x/2)cos(x)-m(3^(2m-1))sin(3x)-(3^(2m))(x/2)cos(3x)}

y^(2m-1)の場合も同じように係数の規則性があるので、
これ位は出来るでしょう。
自分で考えて見てください。