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(sinx)^2 のn次導関数

(sin x)^2(及び、(cosx)^2)のn次導関数を求めよ、という問題が解けません… 解いていくとsin2x,2cos2x,-4sin2x,-8cos2x,,,となって式で一般形にできなくなってしまいます。 初歩的な質問ですみませんが教えて下さい!

  • yulali
  • お礼率75% (171/226)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • yoikagari
  • ベストアンサー率50% (87/171)
回答No.3

(sinx)^2={1-cos(2x)}/2 (cosx)^2={1+cos(2x)}/2ですから (sin x)^2の導関数と(cosx)^2の導関数はそれぞれsin(2x)、-sin(2x)となることはいいようですね。 実は、sin(x+π/2)=cosxであることに気づけば、(sinx)^2と(cosx)^2のn次導関数は以下のように書けることが数学的帰納法で示せるはずです。 (sinx)^2のn次導関数が2^(n-1)*sin(2x+{(n-1)π}/2) (cosx)^2のn次導関数が-2^(n-1)*sin(2x+{(n-1)π}/2) それでは、頑張ってみてください。 分からないところがあれば質問を下さい。

yulali
質問者

お礼

詳細な説明ありがとうございました!

その他の回答 (2)

  • colder
  • ベストアンサー率43% (30/69)
回答No.2

倍角公式 cos 2x = 1-2(sin x)^2 を使って元の式を変形すると簡単にできると思います。

yulali
質問者

補足

すみません、ヒント頂いて申し訳ないんですが、さっぱり分かりません。もうかれこれ3時間以上悩んでます。。。

回答No.1

最初何回かやって法則を見つけて一般式を予想します。 その後数学的帰納法で一般式を証明すればOKです。 でできると思います。 少なくとも(sin x)^2は何回微分してもsin cosの二次の量で 表現できることはわかると思います。 あとは偶数階微分と奇数階微分で場合分けし、係数の増え方なんかに 注目すればすぐに見つかると思います。

yulali
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 n=2m-1のとき(-1)^(m-1)2^(n-1)(sin2x) n=2mのとき... で場合分けするしかないということでしょうか?

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