一般線形群が多様体であることを示したいです。

質問

題名どおり、
一般線形群が多様体になることを示したいのですが、どう手をつけたらいいかわかりません。
ＧＬｎ（C）で示したいです。

どなたか教えていただけませんか？

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

GL(n,C)が開集合であることを使って証明できます。

（行列の位相）

複素数体Cに係数を持つn次正方行列全体をM(n,C)とします。M(n,C)の元に対して、そのn^2個の要素（複素数）を対応させ、さらに、各要素にその実数部と虚数部を対応させることにより、M(n,C)からR^(2n^2)への全単射fが存在します。このfでM(n,C)とR^(2n^2)を同一視することにより、M(n,C)に可微分多様体としての構造を定義することにします。また、GL(n,C)など、M(n,C)の部分集合に対しては、部分位相空間としての構造が導入されるものとします。

（基本命題）

次の(1)と(2)から、GL(n,C)が可微分多様体であることが分かります。

[1]　GL(n,C)は、M(n,C)の開集合である。

[2]　可微分多様体の開集合は、可微分多様体である。

（[1]について）

M(n,C)からR^2への写像Detを、M(n,C)の元に対してその行列式の実数部と虚数部を対応させるものとします。Detは連続写像です（行列式は、行列の要素の加減乗で計算されるから）。よって、

GL(n,C) = Det^(-1)( R^2-{(0,0)})

は、開集合です（R^2-{(0,0)}が開集合であり、また、連続写像による開集合の逆像が開集合だから）。

（[2]について）

Aを可微分多様体、Bをその開集合とします。Aの座標近傍系を({U_λ},{g_λ})とするとき、次の({V_λ},{h_λ})がBの座標近傍系になります。

V_λ = B∩U_λ
h_λは、g_λのV_λへの制限

（GL(n,C)の局所座標系）

証明としては、上で終わりです。ただ、GL(n,C)には、極めてシンプルな座標近傍系が存在します。すなわち、近傍系として、「GL(n,C)全体」という唯一の近傍を指定し、局所座標系として、「冒頭のfのGL(n,C)への制限」という唯一の関数を指定すればよいのです。

お礼

ありがとうございました。
理解できました。