平衡点で線形化する理由とは？

質問

いつもお世話になっております。

題名のとおりなのですが、
なんのために平衡点で線形化するのかを教えてください。
平衡点以外で線形化するとなにがいけないのでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.1

noname#101199 · ベストアンサー

平衡点で近似することで、安定性などを解析できるからです。

平衡点からちょっと状態をズラしたとき、その状態がどう動いていくか（平衡点に戻るのか。あるいはドンドンずれていっちゃうのか）をみたいので、平衡点周りで線形化します。
ヤコビ行列の固有値を求めることに帰着されるので、楽になりますね。

感覚的には、平衡点は山の頂上、谷にボールが止まっている状態だと思ってみてください（頂上で止まっている状態。谷で止まっている状態）。
頂上という平衡点からちょっとボールをズラすと、どんどんボールがおっこちていって平衡点に戻りません。（不安定）
谷という平衡点からちょっとボールをずらしても、また谷に戻るように収束するなら安定です。

一因としてはこんな感じのことを把握したいから平衡点周りで線形化したいんです。平衡点からちょっとズラしたところを解析したいから、とりあえず平衡点近傍だけ線形化します。
平衡点近傍で近似線形化ではなくて、厳密に線形化する手法などもあります。

お礼

大変さんこうになりました！
”平衡点からちょっとズレたとき、どう反応するか”
を知りたいがために、線形化するのですね、、、、

”ヤコビ行列の固有値”

この求め方もすでにならっていたのですが、なるほど
このような使われ方があったのですか、、、
解き方だけを習って
内容は全然しりませんでした。
（たしか固有値が負なら安定だったような、、）

とっても納得できました。ありがとうございます！