数学 ベクトル

質問

三次元ベクトルの問題です
a→　ｂ→　ｃ→　が互いに垂直であるとき、任意のｖ→に対して

わかりやすくするため以降→は略します
つまりアルファベットでベクトルを表しています

ｖ＝（ｖ・a）a／｜a｜＾２　＋　（ｖ・ｂ）ｂ／｜ｂ｜＾２　＋　（ｖ・ｃ）ｃ／｜ｃ｜＾２

が成り立つことを証明せよ

わかる方途中経過・説明込みでお願いしますm(_ _)m

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

a, b, c は一次独立なので

v = d a + e b + f c (d, e, f はスカラー)

a・v = d |a|^2 なので d = (a・v)/|a|^2
同様に, e = (b・v)/|b|^2, f = (c・v)/|c|^2

最初の式に得られた d, e、 f を代入すると

ｖ＝(v・a)a/｜a｜^2＋(v・b)b／｜b｜^2　＋（v・c）c/｜c｜^2

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

info22_

a→　ｂ→　ｃ→　が互いに垂直であるので、任意のｖ→に対して
vをa方向成分、b方向成分、c方向成分に分けることができ
　v=(v_a,v_b,v_c) ...(1)
と表すことができる。

v_aはa方向の単位ベクトルa/|a|を掛けてやれば
　v_a=(v・(a/|a|)) ...(2)
と表せる。

同様に、v_bはb方向の単位ベクトルb/|b|を掛けてやれば
　v_b=(v・(b/|b|)) ...(3)
と表せる。
またv_cはc方向の単位ベクトルc/|c|を掛けてやれば
　v_c=(v・(c/|c|)) ...(4)
と表せる。

(1)を直交単位ベクトル(a/|a|,b/|b|,c/|c|)を使って表せば
　v=v_a*(a/|a|)+v_b*(b/|b|)+v_c*(c/|c|) ...(5)

(5)に(2),(3),(4)を代入すれば
　v=(v・(a/|a|))*(a/|a|)+(v・(b/|b|))*(b/|b|)
　 +(v・(c/|c|))*(c/|c|)
|a|,|b|,|c|はスカラーなので内積の()の外に出せるので
　 =(v・a)(1/|a|)*(a/|a|)+(v・b)(1/|b|)*(b/|b|)
　 +(v・c)(1/|c|)*(c/|c|)
　 =(v・a)*(a/|a|^2)+(v・b)*(b/|b|^2)
　 +(v・c)*(c/|c|^2)
（証明終り）

お礼

回答ありがとうございますm(_ _)m