教科書の合成関数の解釈についてです。

質問

画像の三つの卵型の図形の一番左の図形のｆ（ｘ）の定義域というのはその図形の灰色の部分のことで枠は含まない、この枠はｆ（ｘ）の値域のことで、

真ん中のｆ（ｘ）の値域というのは黒色の灰色の部分を囲む枠のことで、ｇ（ｘ）の定義域は灰色の枠の内部全体のことで灰色の枠は含まない、灰色の枠はｇ（ｘ）の値域のことで、一番左の図形の黒い枠が（ｇ◌ｆ）（ｘ）の値域で、内部の灰色の部分が（ｇ◌ｆ）（ｘ）の定義域で、一番左の図形と真ん中の灰色の部分と黒枠の図形と一番右の図形は全く同じだから、ｆ（ｘ）の定義域・値域と（ｇ◌ｆ）（ｘ）の定義域と値域はそれぞれ全く同じ範囲になる。
だから、

ｆ（ｘ）の定義域の範囲⇔（ｇ◌ｆ）（ｘ）の定義域の範囲
ｆ（ｘ）の値域の範囲⇔（ｇ◌ｆ）（ｘ）の値域の範囲
⇔は同値を表します。

といえる。

ということでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

そーですか。なら、
f(x) = -4+√x, g(x) = √x (実関数) ではどうでしょう。
g○f(x) の定義域が f(x)≧0 によって制限される様子が
見てとれると思います。

お礼

↑間違えて補足のほうに書いてしまいました。

補足

ご丁寧に、具体例をかえてくださりありがとうございます。

おかげさまで、かなり理解できてきてきたと思います。

回答No.2

alice_44

＞ ｆ（ｘ）の定義域の範囲⇔（ｇ◌ｆ）（ｘ）の定義域の範囲

ダウト。
x が f(x) の定義域に含まれていなければ、当然 g○f(x) も定義されないが、
f(x) が定義されていたとしても、その値が g の定義域に含まれなければ
g○f(x) は定義されない。一般に、f(x)の定義域⊇g○f(x)の定義域 であって、
f(x)の定義域＝g○f(x)の定義域 とは限らない。
例：
f(x) = g(x) = log x (実関数) のとき、
f(x) の定義域は x＞0、g○f(x) の定義域は x＞1。

＞ ｆ（ｘ）の値域の範囲⇔（ｇ◌ｆ）（ｘ）の値域の範囲

ダウト。
g○f(x) は f(g(x)) ではなく g(f(x)) なので、f(x) の値域と g○f(x) の値域
には何の関係もない。
例：
f(x) = 1+x^2, g(x) = -x (実関数) のとき、
f(x) の値域と g○f(x) の値域には、共通点すらない。

では、
. ｇ（ｘ）の値域の範囲⇔（ｇ◌ｆ）（ｘ）の値域の範囲
ならどうかというと、これもダウト。

g○f の値域は、当然 g の値域に含まれはするが、
f(x) の値域が g の定義域全体を覆うとは限らないので、
g(x)の値域⊇g○fの値域 ではあるが、
g(x)の値域＝g○fの値域 とは言えない。
例：
f(x) = 1+x^2, g(x) = log x (実関数) のとき、
g(x) の値域は 全実数、g○f(x) の値域は x＞0。

お礼

f(x) = g(x) = log x(実関数) はまだ学習しておりません。

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
(g○f)(x)と書くよりも、g( f(x) )と書いた方がわかりやすいかもしれません。
過去に同様の質問がありましたので、ご参考まで。

あくまでも最終的に考えるべき関数（値を与えている関数）は、g(t)です。
（※変数をあえて tに変えています。）
この「g(t)の t」に入るべき値が、関数：t＝ f(x)によって与えられているだけです。

ただ、この「t」の値がそもそも存在しないと意味をなさないので、
定義域は f(x)の定義域になります。

値域についてですが、単純には「関数：g(t)の値域」となります。
ただし、【関数：g(t)の定義域＝関数：f(x)の値域】という条件がついています。
この条件のもとでの値域を考えることになります。

ですので、
『ｆ（ｘ）の値域の範囲⇔（ｇ◌ｆ）（ｘ）の値域の範囲』

これは正しくありません。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5052643.html

お礼

ご回答ありがとうございました。