logの値域

質問

f(x)=x^2-1,g(x)=log[2]x
合成関数(g○f)(x)=log[2](x^2-1)この合成関数の定義域と値域を求めよ。
log[2](x^2-1)の定義域はx<-1,1<xです。
これはわかりますが
log[2](x^2-1)の値域が実数全体になるのが不明です。
x<-1,1<xなのにどうして実数全体なのでしょう？？

回答No.1

post_iso · ベストアンサー

定義域x<-1 1<xに対し
logの真数（この問題ではx^2-1）の値域が

0<x^2-1<∞

だからです。

真数が０に近づけば、logは-∞に近づき
真数が無限に近づけば、logも無限に近付き、
値域として、実数全体をカバーします

お礼

横にx^2-1軸を
縦にy軸をとれば簡単にわかりますね。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#29493

定義域がx<-1,1<xならばx^2-1＝tとしてtのとりうる値の範囲はt>0だよね。
これはtのとりうる値の範囲がt>0ならば底の数が正で対数の定義(グラフより)よりlog[2]tは実数全体であることから

定義域がx<-1,1<xならばlog[2](x^2-1)の値域は実数全体である。
あと今後のために注意しておきます。定義域をもとめるとき。
log[2]ab=log[2]a＋log[2]bより
log[2](x^2-1)＝log[2](x-1)(x＋1)＝log[2](x-1)＋log[2](x＋1)
で(x-1)>0かつ(x＋1)>0より答えはx>1と答えないようにね。