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数学IIの軌跡の問題です。
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点Pの座標を(x,y)と置く。 円はx軸に接するので、点Pからx軸に引いた垂線の距離yは円の半径である。 円は点Aを通るので、直線PAの距離は円の半径であるり、同じ円の半径であるyに等しい。 直線PAの距離は、三平方の定理より PA=sqrt((x-0)^2+(y-2)^2)=y y=sqrt(x^2+y^2-4y+4) 両辺を二乗すると y^2=x^2+y^2-4y+4 この式を変形すると y=(1/4)x^2+1 となる。 もっといい方法があるかもしれませんが、以上で解けると思います。
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- Mathmi
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#2です。 多分蛇足でしかないでしょうが、#3で「y<0の場合が抜けている」と言われたので、幾何的にどうかは考えず(考えたら、#5氏の言う通りy<0になりようがない)、式を立ててみました。 y<0の時、中点Pからx軸に伸ばした垂線AHの長さは-yである。 条件よりAP=AHなので (x-0)^2+(y-2)^2=(-y)^2 →y^2=x^2+y^2-4y+4 絶対値記号を付けるまでもなく、同じ式に収束しました。
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わかりやすい説明ありがとうございます。 しっかり理解することができました。
- kaztel-D4C
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直感的にですが、求めるべき円の中心Pは座標のどの辺りにあるかを考えると、Pのy座標は正であることがわかると思います。(負だと円がx軸と交点を2つ持ってしまいます。)また、Pのx座標に関しては、正でも負でもどちらでもあり得ます。 ですので、後はNo.2の方が書いてあるように解いていけば良いと思います。 その証拠に、求めた軌跡は必ずyの値が正になっています。
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- alice_44
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←A No.3 ダウト。 仕掛けは、この式にある。 (x-α)^2 + (y-|β|)^2 = |β|^2 (x-α)^2 + (y-β)^2 = |β|^2 が正解だから、A No.2 が正しい。 もとの質問をしている人に、このトリックが 見破れるとは思えないから、冗談にしても 少々タチが悪いね。
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- mister_moonlight
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残念ながら、#2の解は駄目。どこが駄目か、示そう。 円の中心をP(α、β)とすると、題意から (x-α)^2+(y-|β|)^2=|β|^2 これが 点(0、2)を通るから、(0-α)^2+(2-|β|)^2=|β|^2 → 4|β|=α^2+4. そして、これを流通座標に変換するだけ。 #2のミスは 円の中心を x軸を挟んで 一方しか考えていない事。この問題では、ここがポイント。 従って、致命的なミスであり、出題者の落とし穴に見事に引っかかっている。
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