数学IIの軌跡の問題です。

質問

点A(0, 2)を通り、x軸に接する円の中心Pの軌跡を求めよ。

この問題の解き方がわかりません。

どなたか、教えてください。

回答No.2

Mathmi · ベストアンサー

点Pの座標を(x,y)と置く。
円はx軸に接するので、点Pからx軸に引いた垂線の距離yは円の半径である。
円は点Aを通るので、直線PAの距離は円の半径であるり、同じ円の半径であるyに等しい。

直線PAの距離は、三平方の定理より
PA=sqrt((x-0)^2+(y-2)^2)=y
y=sqrt(x^2+y^2-4y+4)

両辺を二乗すると
y^2=x^2+y^2-4y+4

この式を変形すると
y=(1/4)x^2+1
となる。

もっといい方法があるかもしれませんが、以上で解けると思います。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

しっかり理解することができました。

回答No.6

Mathmi

#2です。

多分蛇足でしかないでしょうが、#3で「y<0の場合が抜けている」と言われたので、幾何的にどうかは考えず(考えたら、#5氏の言う通りy<0になりようがない)、式を立ててみました。

y<0の時、中点Pからx軸に伸ばした垂線AHの長さは-yである。
条件よりAP=AHなので
(x-0)^2+(y-2)^2=(-y)^2
→y^2=x^2+y^2-4y+4

絶対値記号を付けるまでもなく、同じ式に収束しました。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

しっかり理解することができました。

回答No.5

kaztel-D4C

直感的にですが、求めるべき円の中心Pは座標のどの辺りにあるかを考えると、Pのy座標は正であることがわかると思います。(負だと円がx軸と交点を2つ持ってしまいます。)また、Pのx座標に関しては、正でも負でもどちらでもあり得ます。

ですので、後はNo.2の方が書いてあるように解いていけば良いと思います。
その証拠に、求めた軌跡は必ずyの値が正になっています。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

しっかり理解することができました。

回答No.4

alice_44

←A No.3 ダウト。
仕掛けは、この式にある。
(x-α)＾2 ＋ (y-|β|)＾2 = |β|^2

(x-α)＾2 ＋ (y-β)＾2 = |β|^2
が正解だから、A No.2 が正しい。

もとの質問をしている人に、このトリックが
見破れるとは思えないから、冗談にしても
少々タチが悪いね。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。

しっかり理解することができました。

回答No.3

mister_moonlight

残念ながら、＃2の解は駄目。どこが駄目か、示そう。

円の中心をＰ(α、β)とすると、題意から　(x-α)＾2＋(y-｜β｜)＾2＝｜β｜＾2
これが　点(0、2)を通るから、(0-α)＾2＋(2-｜β｜)＾2＝｜β｜＾2　→　4｜β｜＝α＾2＋4.　
そして、これを流通座標に変換するだけ。

＃2のミスは　円の中心を　x軸を挟んで　一方しか考えていない事。この問題では、ここがポイント。
従って、致命的なミスであり、出題者の落とし穴に見事に引っかかっている。

回答No.1

Tacosan

何も考えず P の座標を求める.

お礼

しっかり理解することができました。