行列の上三角化と固有ベクトルの求め方
- 行列の上三角化とは、与えられた行列を直行行列を用いて上三角行列に変換する操作です。この問題では、与えられた行列の固有値が全て実数であることを確かめ、直行行列を使って上三角化することが求められています。
- 与えられた行列は、次のような形です： １ ２ ０ ０ ２ ０ －２ ４ －１ この行列をAとおき、|tE-A|を求めることで固有値を求めることができます。計算結果から、t=1,-1,2の場合の固有値が得られます。
- t=-1の場合、簡約化した行列は次のようになります： 1 0 0 0 1 0 0 0 0 この場合、固有ベクトルを求めるときに問題が発生しています。上記の簡約化行列は階数が2であり、固有ベクトルを求めるためには3つの独立した固有ベクトルが必要です。したがって、この場合は固有ベクトルを求めることができません。
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行列の上三角化
次の行列の固有値は全て実数であることを確かめ、直行行列をつかって上三角化せよという問題があります 行列は １ ２ ０ ０ ２ ０ －２ ４ －１ の３×３行列です とりあえず、これをAとおき、|tE-A|を求めたところ、 t=1,-1,2となりました t=1,2の場合はtE-Aに代入し、固有ベクトルはそれぞれc[-1 0 1]とc[1 2 0]と求めることができました ところがt=-1のとき、簡約化した行列が 1 0 0 0 1 0 0 0 0 となってこの場合どう固有ベクトルを求めればいいのかが分かりません 以下の画像は私がt=-1をtE-Aに代入し簡約化する様子です 固有ベクトルは３つないと直行化して三角化できませんよね？ だから３つ固有ベクトルが必要なはずなんですけどどこをどう間違えているのか教えてほしいです （簡約化なのかその先なのか）
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そもそも、t=1,2のときの固有ベクトルも間違えてます。 簡約化は合ってますけど 今回のように数字が優しい行列の場合は簡約化する必要ないですよね？ 簡約化した後はどうやって固有ベクトルを導いてますか？ そこが間違っているから、t=-1のときも解けないし、 t=1,2のときも間違っているのでしょう。 t=1のときの固有ベクトルの出し方の例を示すので t=-1,2についても真似してやってみてください。 *************************************** tE-Aは t=1のとき 0 2 0 0 -1 0 -2 4 2 よって、(tE-A)X＝0を 各行で計算すると 0*x1 + 2*x2 + 0*x3 = 0 0*x1 - 1*x2 + 0*x3 = 0 -2*x1 + 4*x2 + 2*x3 = 0 この連立方程式を解くと、 x2=0 x1=x3 となります。 よって、仮にx1をcとおいたときに X=ｃ[1 0 1] となる ************************************* ちなみに t=-1のときは c[0 0 1] (x1=x2=0なのでx3=cとおいた) t=2のときは c[1 -1/2 0] 以上
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よくわかりませんが，固有値-1に対する固有ベクトルはx=y=0より 0 0 1 ではないのですか？
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