• ベストアンサー

ユニタリ行列による上三角化の証明

http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node16.html#teiri:3-8 の、定理 4.3 の証明について質問です。 Aの固有単位ベクトルを、正規直行基底になるように選ぶと書かれているのですが、何故必ず直行するように固有ベクトルを選べると言えるのでしょうか？ 宜しくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 33550336
  • ベストアンサー率40% (22/55)
回答No.1

単位ベクトルを固有ベクトルの中からひとつ選んでからそれに他のベクトルを加えて正規直交基底に拡張しているので、Ａの固有ベクトルから正規直交系を選んでいるわけではありません。

glarelance
質問者

お礼

あー、この場合は、Aの適当な固有値をλ1、この固有値に対応する単位固有ベクトルをu1とした場合に、u1を含むn次元空間を構成する正規直交基底を適当に作ったってことだったんですね＾＾； どうも有り難うございました。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 行列の直行、固有値、基底ベクトルなど行列演算に関するイメージ

    行列の直行、固有値、基底ベクトルなど行列演算に関するイメージ 画像処理の勉強をしており、行列演算の理解が必要となってきているのですが、いまいちイメージがつかめません。 導き方などは昔習ったので分かるのですが、その意味やどういった風に活用するのかが分からないといった常態です。 行列の直行、固有値,固有ベクトル、基底ベクトルなど、行列の基本的な計算に関して、その意味について分かりやすく説明してくれているサイトってありませんか？ ベクトルで例え、図入りで説明していてくれるとすごく助かります。

  • 直交行列について

    正規直交基底を列ベクトルにして正方行列を作ると、直交行列になりますが、 この時、行ベクトルの組も正規直交基底になっていることはどう証明すればよいのでしょうか？ 詳しい方教えてください。

  • 行列の三角化について

    行列Aの対角化が出来なくても、上三角行列の形に三角化できるというのですが、これはどのような手順でやればいいのですか？ 例えば3×3行列で、固有ベクトルが1つ（α）しか出てこなかったとします。 この場合は当然対角化はできないのですが、三角化は出来るようです。 参考書には、まず固有値αのときの固有ベクトルx1,x2を出します。 そしてその固有ベクトルx1,x2を正規直交化してu1,u2を求めます。 そのあとu1,u2にに直交するような大きさ1のベクトルu3を作ります。 ここまでは一応理解しました。しかしこの後が問題です。 ここで、 Au3=au1+bu2+cu3・・・（※） となるa,b,cを求めるとあります。 そしてU=[u1 u2 u3]とおくと AU=A[u1 u2 u3]=[Au1 Au2 Au3] =[αu1 αu2 au1+bu2+cu3] となるので、'UAUより三角化できるとあります。 （'UはUの転置行列です） 質問したい箇所は、（※）の部分です。 なぜこのような形にしないといけないのですか？ よろしくお願いします。

  • 直交行列について

    A~A=AA~=Iを満たすAは直交行列(~は転置 n次元の正規直交基底をn個並べたものは直交行列　とあります 正規直交基底a1,a2,,,,anを並べた行列をAとすると A~Aは各ベクトルの内積を考えることになって ノルムは1　直交するから0→単位行列だってのはわかりますが AA~は内積を考えてるわけではないです でも計算してみると内積っぽい形をしているわけで y1をa1,a2,a3...anの第一成分を並べたベクトル ynをa1,a2,a3...anの第n成分を並べたベクトル と見れば AA~はyi(i=1,2,3...n) の各内積を考えることになり これも単位行列になるんだから結局yiも正規直交基底になっています これはなんでですか？ A~A=AA~=Iだからで片付けられるとなんだか面白くないので 他に証明のやりかたあったら教えてください

  • なぜ正規行列で対角化するの？？

    アホな質問です。 対角化するとき、エルミート行列あるいは実対象行列のときはユニタリー行列Uあるいは直行行列を使って対角するような問題ばかりなのですが、なぜ、普通に任意の正則行列Pをつかって対角化しないでしょうか？ ユニタリー行列を探すには、固有ベクトル見つけたあと、グラムシュミットで正規直交基底をつくってやらんきゃならんわけですよね。単に固有ベクトルならべてつくるPより、面倒だと思うのですが？ 教科書にはそういうときはユニタリで対角化できるみたいに書いてあるんで普通の正則行列Pでも対角化自体はできんですか？ その後においてどういう利点があるんでしょうか？ 確か前どっかで聞いたことあったような・・Uが直行しているのでなんかの計算で便利なんでしたっけ？何かをわざわざ計算しなくてもいいから楽？ってどっかで見たか聞いたことあったような・・・。わかりやすく大学初学年にもわかりやすい程度でお願いします・・。m(__)m

  • ■　行列問題の証明　■

    正方行列A,BがAB＋BA＝I、A^2＝A^B＝０、C＝ABの関係を満たすとき C^2＝Cを証明して、固有値が０または１であることを導けという問題です。 C^2＝Cは証明しました。固有値のほうでわかんなくなって解説見たんですけど・・ C^2ⅹ＝λ^2ⅹ（ⅹは列ベクトル）という途中式（←これはわかる）のあと、そこからどうして λ(λ-１)ⅹ{/＝}０ということになるんでしょうか？？ λは固有値、｛/＝｝はイコールの否定という意味です。右辺の０はゼロベクトルです。 よろしくお願いします＞＜

  • 対角化不可能な４次正方行列

    行列A= (-1,0,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (4,0,0,-1) について。 Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。 という問題がわかりません。 自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。 λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。 問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。 このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から t^(1,0,0,2) t^(0,1,0,0) t^(0,0,1,0) を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか？ あと、この後どうやったらいいのかわかりません。 いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。 教えてください。

  • 直行行列で対角化する問いについてお願いします。

    0 1 1 Ａ＝< 1 0 -1>を直行行列で対角せよ。 1 -1 1 　Ａ＝Ａの転置となる。Ａの固有値λ＝－√３　、√３、１で各固有ベクトルを求め、単位固有ベクトルを３本作り、直交行列を作ると、二重根号ばかりで求めた直交行列が合っているのかわかりません。 この問いはどのようになるのかご教授願います。

  • ガウスの発散定理の証明について

    http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/vectoranalpub/node20.html こちらのサイトにガウスの定理についての証明が書かれていますが、わからない部分がありますので質問をさせていただきたいです。 1. まず曲面S1をz=f_1(x,y)という式で表現してますが、xyz空間で曲面というのは一般にz=f(x,y)などというように表現できるものなのでしょうか？ 2. また曲面S2における法線単位ベクトルが(r_x×r_y)/|r_x×r_y|となるのは納得できます。しかしそれを単位ベクトルnとしたときに曲面S1での法線単位ベクトルが-nとして表現できることがよくわからないです。 SはVを囲む閉曲面で、Sを包丁などのようで切ったものの片方をS1,もう一方をS2というように考えているのですよね？ このときS1とS2は同じ形をしてるとかそういうことはないですよね。 S2における法線単位ベクトルをnとして、S1の法線単位ベクトルが-nで表現できるということは、S2における単位法線ベクトルとS1における単位法線ベクトルは平行ということになるわけですが、S2,S1から適当にある微小部分をとって、その単位法線ベクトルを考えても必ずしも平行になるというわけではないですよね？ それらが平行になるように特別なS1,S2を考えるのであれば一般性が崩れてしまうのでは・・・？ 3. また∬_Ω[F_3(x,y,f_2(x,y)dydx]=∬_S2[F_3]dydxと書かれていますが、曲面S2をxy平面に射影しているのですよね？ つまりz=0としているということなんでしょうが、なぜこの等式が成り立つのかうまく理解できません。 もし分かる方がいらっしゃいましたら是非教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 行列式（入門）の証明

    問．Aをn次正方行列とする。 　　零ベクトルでないn項列ベクトルbによって、 　　Ab=b が成り立っていれば |A|=0 であることを 　　証明せよ。 線形代数について学習し始めたばかりで、考え方や証明の仕方 に慣れていません。 Ab=b ということは、行列Aが単位行列であることと関係があるのでしょうか。 いろいろ教えていただけると助かります。お願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する