線形代数 直行行列の性質

質問

線形代数の直行行列の性質で
tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たすものと書かれていたのですが、ある参考書には正規直行基底を列ベクトルにもつ行列を直行行列という、とかいてあるのですが、それぞれの列ベクトルが大きさ１という条件は必要なのでしょうか。それともtPP = E, P tP = Eを満たすだけで直行行列といえるのでしょうか。

回答No.3

guuman

対角成分をひかくすると
P^T・P=E
は長さ１という条件を含んでいるということだ
また、その非対角成分は直交性をあらわしている
つまり上式で列ベクトルが正規直交基底になっているということだ
必要な異が分かったら至急締め切れ

お礼

わかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

直交行列かどうかの判定方法を知りたいのでしょうか？

それとも
『行列Pが、tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たす』⇔『行列Pが、正規直行基底を列ベクトルにもつ』
を証明したいのでしょうか？

前者だとしたら、次のようになります。

> それぞれの列ベクトルが大きさ１という条件は必要なのでしょうか。それともtPP = E, P tP = Eを満たすだけで直行行列といえるのでしょうか。

「tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たす行列Pが直行行列である」
「正規直行基底を列ベクトル(正規直交基底なので大きさ1)にもつ行列が直行行列である」

となっているので、こうなります。

(1)「tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たす行列Pが直行行列である」
(2)「直行行列は正規直行基底を列ベクトル(正規直交基底なので大きさ1)にもつ」
(1)(2)から、
『tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たす行列Pは、正規直行基底を列ベクトル(正規直交基底なので大きさ1)にもつ』

同様に
(3)「正規直行基底を列ベクトル(正規直交基底なので大きさ1)にもつ行列が直交行列」
(4)「直行行列PはtP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たす」
(3)(4)から、
『正規直行基底を列ベクトル(正規直交基底なので大きさ1)にもつ行列Pは、tP = P^-1 すなわちtPP = E, P tP = Eを満たす』

> それぞれの列ベクトルが大きさ１という条件は必要なのでしょうか。それともtPP = E, P tP = Eを満たすだけで直行行列といえるのでしょうか。

tPP = E, P tP = Eを満たす行列Pの列ベクトルは、すべて大きさ1になるはずです。
なのでわざわざ「列ベクトルの大きさが1」であることを示す必要はありません。
「tPP = E, P tP = E」ならば、自動的に「行列Pの列ベクトルの大きさが1」になってます。

お礼

ありがとうございました。
tPP = E, P tP = Eなら、自動的に行列Pの列ベクトルの大きさ1になるんですね。

回答No.1

guuman

P=
[a b c]
[d e f]
[g h i]
として
P^T・P=E
の成分同士の等式をかきくだして補足に書け

補足

[a^2+d^2+g^2 ab+de+gh ac+bd+cg ] [1 0 0]
[ab+ed+gh b^2+e^2+h^2 bc+ef+hi ] =[0 1 0]
[ac+fd+ig bc+fe+ih c^2+f^2+i^2] [0 0 1]

でしょうか。