条件の問題

質問

添付した画像の問題の解説をお願いしたいです！

解答
(1)3
(2)4
(3)7
(4)2

どのように解いたか説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ｐ：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2＜５
ｑ：｜ａ＋ｂ｜＜１　または ｜ａ－２ｂ｜＜２

＞（１）ｑならばｐ（ｑ　→　ｐ）は、｛（ｑでない）またはｐ｝　と同じ真理表になります。
例えば、命題が真なら１，命題が偽なら０として、真理表にすると、
（ｑ，ｐ）（ｑでない）｛（ｑでない）またはｐ｝＝（ｑならばｐ）の順とすると、
（１，１）（０）（１）
（１，０）（０）（０）
（０，１）（１）（１）
（０，０）（１）（１）だから、
「ｑが真１ｐが偽０」の時だけ（ｑならばｐ）は偽０（命題が成り立たない）と言うことになります。

設問の全部の場合をｐとｑの式に代入してみます。
（０）ａ＝０，ｂ＝０のとき、
ｑ：｜０｜＝０＜１または｜０｜＝０＜２で真
ｐ：０^2＋０^2＜５で真　だから（ｑならばｐ）は真
（１）ａ＝１，ｂ＝０のとき
ｑ：｜１｜＝１＜１または｜１｜＝１＜２　どちらかが成り立てばよいから真
ｐ：１^2＋１^2＝２＜５で真　だから（ｑならばｐ）は真
（２）ａ＝０，ｂ＝１のとき
ｑ：｜１｜＝１＜１または｜－２｜＝２＜２で偽
ｐ：１^2＋（－２）^2＝５＜５で偽　だから（ｑならばｐ）は真
（３）ａ＝１，ｂ＝１のとき
ｑ：｜２｜＝２＜１または｜－１｜＝１＜２　で真
ｐ：２^2＋（－１）^2＝５＜５で偽　だから（ｑならばｐ）は偽

だから、（３）が反例になります。（２）も反例のような気がして迷いますが（だから真理表で確認しました）命題がどういう場合に偽になるかを覚えておけばいいと思います。

＞（２）（ｐならばｑ）の対偶は、｛（ｑでない）ならば（ｐでない）｝
ド・モルガンの法則より、
＞ｐ：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2＜５
ｐでない：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2≧５　……（４）
＞ｑ：｜ａ＋ｂ｜＜１　または ｜ａ－２ｂ｜＜２
ｑでない：｜ａ＋ｂ｜≧１　かつ ｜ａ－２ｂ｜≧２　……（７）

＞（３）命題は（十分条件）→（必要条件）で、
ｐ→ｑが真のときは、ｐはｑであるための十分条件，ｑはｐであるための必要条件といいます。
グラフを描いて、領域をみれば分かりますが、
ｐは楕円の内部，ｑは４本の直線で囲まれた平行四辺形の内部で、どちらも境界を含みません。
ｐの領域がｑの領域に含まれています。
ｐであれば必ずｑであるので、ｐならばｑは真であるけれども、
ｑであってもｐであるとは限らないので、ｑならばｐは偽。
だから、「ｐはｑであるための十分条件であっても必要条件でない」……（２）

でどうでしょうか？
教科書などで、真理表や用語の意味を確認して下さい。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
分かりやすい解説ありがとうございました！