条件の問題

質問

添付した画像の問題の解説をお願いしたいです！

解答
(1)3
(2)4
(3)7
(4)2

どのように解いたか説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

addevent

う～ん、添付画像の画質が粗い(＞＜)
条件pの添え字は両方2ですか？

とりあえず、解説だけ書きます。

（１）命題「q⇒p」の反例の見つけ方。
選択肢の中から、条件qをみたす例（a,bの組み合わせ）を探します。
その例の中で、条件pは満たさない例があればそれが反例。
(3)を計算すれば、qは満たすけど、pは満たさない事を確認すればOK。

（２）命題「p⇒q」の対偶は、「qの否定⇒pの否定」です。
つまり、イにはqの否定が、ウにはpの否定が入ります。
qの否定は、「|a+b|<1でないかつ、|a-2b|<2でない」です。
ここがわからない場合は、集合論の否定について調べましょう。
pの否定は、「（左辺）<5でない」。

（3）この問題は、出題者の誘導が親切すぎるので(1),(2)の問題文を読むだけで雰囲気から正解が出そうですね。

まず、必要十分条件のおさらいから。
命題「a⇒b」が成立する時、「aはbであるための十分条件」、「bはaであるための必要条件」と呼びます。これだけ。
注意すべきは、「pはqであるための～」って呪文は「p⇒q」の時と「q⇒p」の時に出てくるので、両方考えないとダメってところ。

(1)で、命題「q⇒p」には反例があったので、この命題は不成立。
なので、「pはqであるための必要条件」ではありません。
次に、命題「p⇒q」が成立すれば、「pはqであるための十分条件」となります。
これが成立する事を示します。
命題「p⇒q」と、命題の対偶「qの否定⇒pの否定」は意味が同じです。
命題「p⇒q」の証明が難しそうな時は、命題の対偶を証明しましょう。
(2)から、qの否定が「|a+b|≧1かつ、|a-2b|≧2」とわかっています。
ここから、(a+b)^2≧1かつ(a-2b)^2≧4が成立するので、(a+b)^2+(a-2b)^2≧5です。
これは、pの否定ですよね。（添え字あってますか？？）
なので、対偶は成立。よって、命題も成立。以上

この問題は、対偶、否定、必要十分条件の復習問題なので、(2)と(3)の前半がわかればよし。
高校生は休みの夜も大変ですな。。

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳なかったです。
解説ありがとうございました！