数学の問題
数学の問題
関数f(x) (n=1,2,3,・・・) は
f1(x)=4x^2+1
fn(x)=∫[1～0] ｛ 3x^2 * t * f'(n-1)(t) + 3f(n-1)(t) ｝ dt 、 (n=2,3,4,・・・)
で、帰納的に定義されている。このfn(x)を求めよ。
という問題です。解説で
tで積分なので、定数は前に出して
fn(x)=3x^2∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ + 3∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ dt
ここで
∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ = a(n)
∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ dt = b(n)
とおく。
fn(x) = 3a(n)x^2 + 3b(n)
a(n)とb(n)を求めれば、fn(x)がわかります。
f(n-1)(x) = 3a(n-1)x^2 + 3b(n-1)
f(n-1)'(x) = 6a(n-1)x
です。
a(n) =∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ = 2a(n-1)
b(n) =∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ = a(n-1) + 3b(n-1)
a(n) = 2a(n-1) より、｛a(n)｝は初項 a(1) = 4/3 、公比2 より、a(n) = 2^n+1/3
ここで、分からないところがあります。a(1) = 4/3 とありますが、どうやって求めたんでしょうか?
そもそも、a(1)があること自体に疑問があります。f(n)xのnとa(n)のnは同じ数(n)です。
しかし、このf(n)xは成り立つのは (n=2,3,4,・・・)とかいてあります。
つまり、a(2)からしかない？と思ってしまいました。
b(n)にしても、初項の求め方が分かりません。
このあたりのことを教えてください。
